Глава 10. Сложное сопротивление

Напомним, что НДС бруса определяется 6-ю компонентами: Q_x, Q_y, N_z, M_x, M_y, M_z.

Ранее были рассмотрены следующие виды НДС:

1) ЦРС (N_z ≠ 0),

2) Чистый изгиб (M_x ≠ 0 или M_y ≠ 0),

3) Поперечный изгиб (M_x ≠ 0, Q_y ≠ 0 или M_y ≠ 0, Q_x ≠ 0),

4) Сдвиг (Q_x ≠ 0 или Q_y ≠ 0).

Определение. НДС бруса называется сложным, если одновременно два или более компонент отличны от нуля. Исключение составляет поперечный изгиб, относящийся к простым видам НДС.

Косой изгиб

Этот вид НДС рассматривается как альтернатива прямому изгибу бруса (см. §3.1). Напомним, что изгиб бруса называется прямым, если выполнены два условия:

- силовая плоскость совпадает с плоскостью симметрии бруса,

- силы, приложенные к брусу перпендикулярны оси бруса.

Рассмотрим брус прямоугольного поперечного сечения длиной l в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано на его левом защемленном конце, а ось Оz совпадает с осью бруса.

Пусть свободный конец бруса загружен силой Р, лежащей в плоскости поперечного сечения и направленной под углом α к оси Oy (рис. 10.1).

Очевидно, что в этом случае силовая плоскость не совпадает с плоскостью симметрии бруса, то есть не выполняется первое условие.

Составляющая силы Р по оси Oy вызывает изгиб бруса в вертикальной плоскости – относительно оси Ox – с максимальным изгибающим моментом M_x = Р cosα· l = М cosα, а сила Р_х = Р sinα – изгиб в горизонтальной плоскости (относительно оси Oy) с максимальным изгибающим моментом M_y = Р sinα· l = = М sinα.

Таким образом, косой изгиб эквивалентен двум прямым изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях. При этом

σ = σ(M_x) + σ(M_y) = (M_x / J_x) y + (M_y / J_y) x = M [(cosα/ J_x) y +(sinα/ J_y) x ]. (10.1)

Чтобы построить эпюру результирующих напряжений, определим положение нейтральной оси. Подставляя в (10.1) σ = 0 и учитывая, что M ≠ 0, получим:

y = - (sinα/ J_y)/(cosα/ J_x) x = - tgα (J_x/J_y) x,

и обозначив

tgβ = tgα (J_x/J_y), (10.2)

получим искомое уравнение нейтральной оси:

y = - tgβ x. (10.3)

Р_х

Рис. 10.1

Р_у

РО

Как видим, она проходит через центр тяжести сечения и лежит во втором и четвертом квадрантах.

Отметим, что если J_x ≠ J_y, то и β ≠ α, то есть нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости.

Дальнейший ход построения эпюры результирующих напряжений не требует комментариев (рис. 10.2).

Расчет балки на прочность при косом изгибе выполняют по формуле, аналогичной формуле (7.1) для прямого изгиба:

|_max = (M_x / W_x) + (M_y / W_y) ≤ [ ].

Максимальные прогибы консоли от сил Р_y= Р cosα и Р_х = Р sinα найдем с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (см. пример 8.3):

f_x = (Р_хl ³)/(3 EJ_y); f_y = (Р_yl ³)/(3 EJ_x).

Тангенс угла между плоскостью симметрии бруса Oyz и плоскостью прогибов равен:

tgγ = (f_x / f_y) = tgα (J_x/J_y) = tgβ,

то есть плоскость прогибов перпендикулярна нейтральной оси бруса.

силовая плоскость

нейтральная ось

+σ(М_у)

σ(М_х)

Рис. 10.2

σ_max

плоскость прогибов

Прямой изгиб с ЦРС

Пусть теперь не выполняется второе условие прямого изгиба, о котором шла речь в начале §10.1, и свободный конец бруса загружен силой Р, приложенной в центре тяжести сечения, которая лежит в плоскости симметрии бруса, но не перпендикулярна его оси (рис. 10.3).

Разложим силу Р на составляющие по осям Oy и Oz. Тогда сила Р_z будет вызывать растяжение бруса с постоянной продольной силой N_z = Р_z и постоянными нормальными напряжениями σ(N) = N / F, а сила Р_y – изгиб в вертикальной плоскости с максимальным изгибающим моментом M_x = Р_y · l, и нормальными напряжениями σ(M_x) = (M_x / J_x) y.

Р_z

Рис. 10.3

Р_у

РО

Результирующие нормальные напряжения будут равны:

σ = σ(N) + σ(M_x) = N / F + (M_x / J_x) y.

Таким образом, при изгибе с растяжением нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения (рис. 10.4).

При этом

σ_max = N / F + M_x / W_x;

σ_min= N / F - M_x / W_x.

Эти формулы справедливы и для случая сжимающей продольной силы, но только при условии, что балка имеет большую изгибную жесткость, когда соблюдается принцип начальных размеров.

Условие прочности:

|_max = N / F + M_x / W_x ≤ [ ].

Рис. 10.4

σ(M_x)

σ(N)

σ_max

σ_min

нейтральная ось