Алгоритм применения критерия Пирсона

1. Выдвигают нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и находят его параметры и по формулам (3.38) и (3.33) соответственно.

2. Определяют теоретические частоты соответствующие опытным частотам Если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними. Интервалы после объединения будем обозначать ( ]. Число интервалов должно быть не менее 4-х. Если случайная величина X непрерывна, то

 

 

где − объем выборки (сумма всех частот);

− шаг (разность между двумя соседними вариантами);

вычисляют следующим образом:

(3.49)

Значения находят из таблицы приложения 1.

3. Вычисляют наблюдаемое значение критерия:

(3.50)

4. Находят по таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы − число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

5. Если то гипотезу о нормальном распределении выборки принимают; если то гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.

Пример 3.59. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки (табл. 3.13) объема

 

Таблица 3.13

Закон распределения дискретной случайной величины

 

Используя формулы (3.38) и (3.33), найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что по формуле (3.41):

Составим расчетную таблицу 3.14.

 

 

Таблица 3.14

Расчетная таблица

		−1,62	0,1074	9,1		34,81	3,8
		−1,20	0,1942	16,5		90,25	5,5
		−0,77	0,2966	25,3		0,09	0,0
		−0,35	0,3752			4,00	0,1
		0,08	0,3977	33,9		62,41	1,8
		0,51	0,3503	29,8		77,44	2,6
		0,93	0,2589			4,00	0,2
		1,36	0,1582	13,5		42,25	3,1
		1,78	0,0818			36,00	5,1
∑

 

По таблице критических точек распределения (приложение 5) по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области:

Поскольку − гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Контрольные вопросы

1. Каковы основные задачи математической статистики?

2. Сформулировать определение понятия генеральной совокупности.

3. Сформулировать определение понятия выборочной совокупности.

4. Что называется объемом совокупности?

5. Какая выборка называется репрезентативной?

6. Что называется вариационным рядом?

7. Что называется частотой, относительной частотой варианты?

8. Что называется размахом выборки?

9. Что называется модой выборки?

10. Что называется размахом, модой выборки?

11. Что представляет собой диаграмма частот, относительных частот?

12. Сформулировать определение понятия статистической гипотезы.

13. Сформулировать определение понятия статистического критерия.

14. Какие оценки параметров распределения называются точечными?

15. Как вычислить несмещенную оценку математического ожидания?

16. Как вычислить смещенную оценку математического ожидания?

17. Как вычислить несмещенную оценку дисперсии?

18. Как вычислить смещенную оценку дисперсии?

19. Какие оценки параметров распределения называются интервальными?

20. Какое распределение называется нормальным?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычислительного эксперимента такие процессы, которые невозможно исследовать другими методами. В этой связи появилась возможность прогнозировать поведение сложных экономических и социальных систем в различных условиях и определять оптимальные параметры их функционирования, что является основой для принятия эффективных управленческих решений.

Все более широкое использование математических методов в самых различных областях деятельности, в свою очередь, стимулирует разработку новых направлений математики и открывает новые возможности её развития и как науки, и как прикладной дисциплины.

Однако наиболее перспективным направлением, на наш взгляд, является применение методов математики в экономике, в частности в управлении экономическими процессами. В наше время научное управление этими процессами в условиях рыночной экономики, особенно в период экономического кризиса, может осуществляться только на основе применения математических методов в различных сферах экономики: изучение и прогнозирование спроса на товары широкого потребления и услуги, изучение потребностей в рабочей силе, планирование транспортных потоков, пассажирских перевозок и пр. При этом многие математические методы и модели, используемые в практической деятельности, базируются на теоретических и практических аспектах таких разделов математики, как линейная и векторная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, а также математическая статистика.

В связи с вышеизложенным сложно переоценить роль математики в системе обучения студентов экономических направлений подготовки, а также направлений подготовки «Прикладная информатика» и «Инноватика».

 

 

Библиографический список

Основная литература

1. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. − М.: Высш. школа, 2004. − 404 с.

2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / В. Е. Гмурман. − М.: Высш. школа, 2003. − 479 с.

3. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник / Н. Ш. Кремер. − ЮНИТИ-ДАНА, 2007. − 480 с.

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Н. Ш. Кремер. − М.: Высш. школа, 2004. − 573 с.

 

Дополнительная литература

 

5. Баврин, И. И. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / И. И. Баврин. − М.: Высш. школа, 2005. − 160 с.

6. Жуков, Ю. В. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения / Ю. В. Жуков, А. В. Лебедев, Л. Н. Фадеева. − М.: Эксмо, 2007. − 336 с.

Приложение 1

Таблица значений функции Гаусса
X
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9										055I
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа

х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066
0,01	0,0040	0,45	0,1736	0,89	0,3133	1,33	0,4082
0,02	0,0080	0,46	0,1772	0,90	0,3159	1,34	0,4099
0,03	0,0120	0,47	0,1808	0,91	0,3186	1,35	0,4116
0,04	0,0160	0,48	0,1844	0,92	0,3212	1,36	0,4131
0,05	0,0199	0,49	0,1879	0,93	0,3238	1,37	0,4147
0,06	0,0239	0,59	0,1915	0,94	0,3264	1,38	0,4162
0,07	0,0279	0,51	0,1950	0,95	0,3289	1,39	0,4177
0,08	0,0319	0,52	0,1985	0,96	0,3315	1,40	0,4192
0,09	0,0359	0,53	0,2019	0,97	0,3340	1,41	0,4207
0,10	0,0398	0,54	0,2054	0,98	0,3365	1,42	0,4222
0,11	0,0438	0,55	0,2088	0,99	0,3369	1,43	0,4236
0,12	0,0478	0,56	0,2123	1,00	0,3413	1,44	0,4261
0,13	0,0517	0,57	0,2157	1,01	0,3438	1,45	0,4265
0,14	0,0557	0,58	0,2190	1,02	0,3461	1,46	0,4279
0,15	0,0596	0,59	0,2224	1,03	0,3485	1,47	0,4292
0,16	0,0636	0,60	0,2257	1,04	0,3508	1,48	0,4306
0,17	0,0675	0,61	0,2291	1,05	0,3531	1,49	0,4319
0,18	0,0724	0,62	0,2224	1,06	0,3554	1,50	0,4332
0,19	0,0753	0,63	0,2357	1,07	0,3677	1,51	0,4345
0,20	0,0793	0,64	0,2389	1,08	0,3599	1,52	0,4357
0,21	0,0832	0,65	0,2422	1,09	0,3621	1,53	0,4370
0,22	0,0871	0,66	0,2454	1,10	0,3043	1,54	0 4382
0,23	0,0910	0,67	0,2486	1,11	0,3665	1,55	0,4394
0,24	0,0948	0,68	0,2517	1,12	0,3686	1,56	0,4406
0,25	0,0987	0,69	0,2549	1,13	0,3708	1,57	0,4418
0,26	0,1026	0,70	0,2580	1,14	0,3729	1,58	0,4429
0,27	0,1064	0,71	0,2611	1,15	0,3749	1,59	0,4441
0,28	0,1103	0,72	0,2642	1,l6	0,3770	1,60	0,4452
0,29	0,1141	0,73	0,2673	1,17	0,3790	1,61	0,4463
0,30	0,1179	0,74	0,2703	1,18	0,3810	1,62	0,4474
0,31	0,1217	0,75	0,2734	1,19	0,2830		0,4484
0,38	0,1265	0,76	0,2764	1,20	0,3849	1,64	0,4496
0,33	0,1293	0,77	0,2794	1,21	0,3869	1,65	0,4505
0,34	0,1331	0,78	0,2823	1,22	0,3883	1,66	0,4615
0,35	0,1368	0,79	0,2852	1,23	0,3907	1,67	0,4625
0,36	0,1406	0,80	0,2881	1,24	0,3925	1,68	0,4636
0,37	0,1443	0,81	0,2910	1,25	0,3944	1 69	0,4645
0,38	0,1480	0,82		1,26	0,3961	1,70	0,4654
0,39	0,1517	0,83	0,2967	1,27	0,3980	1,71	0,4664

Окончание приложения 2

х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
0,40	0,1664	0,84	0,8996	1,28	0,8997	1,72	0,4673
0,41	0,1691	0,85	0,3023	1,29	0,4015	1,73	0,4682
1,78	0,4625	1,99	0,4767	2,40	0,4918	2,80	0,4974
1,79	0,4633	2,00	0,4772	2,42	0,4922	2,82	0,4976
1,80	0,4641	2,02	0,4783	2,44	0,4927	2,84	0,4977
1,81	0,4649	2,04	0,4793	2,46	0,4931	2,86	0,4979
1,82	0,4656	2,06	0,4803	2,48	0,4934	2,88	0,4980
1,83	0,4664	2,08	0,4812	2,50	0,4938	2,90	0,4981
1,84	0,4671	2,10	0,4821	2,52	0,4941	2,92	0,4982
1,86	0,4678	2,12	0,4830	2,54	0,4945	2,94	0,4984
1,86	0,4686	2,14	0,4838	2,56	0,4948	2,96	0,4985
1,87	0,4693	2,16	0,4846	2,58	0,4951	2,98	0,4986
1,88	0,4699	2,18	0,4854	2,60	0,4953	3,00	0,49865
1,89	0,4706	2,20	0,4861	2,62	0,4956	3,20	0,49931
1,90	0,4713	2,22	0,4868	2,64	0,4959	3,40	0,49966
1,91	0,4719	2,24	0,4875	2,66	0,4961	3,60	0,499841
1,92	0,4726	2,26	0,4881	2,68	0,4963	3,80	0,499928
1,93	0,4732	2,28	0,4887	2,70	0,4968	4,00	0,499968
1,94	0,4738	2,30	0,4893	2,72	0,4967	4,50	0,499997
1,95	0,4744	2,32	0,4898	2,74	0,4969	5,00	0,499997
1,98	0,4761	2,34	0,4904

 

Приложение 3

Таблица значений (распределение Пуассона)

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,9018	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5458	0,4966	0,4493	0,4066
	0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659
	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
	0,0002	0,0019	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
		0,0001	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
							0,0001	0,0002	0,0003
	0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000
	0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
	0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050	0,0023
	0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150	0,0076
	0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
	0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
	0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911	0,0631
	0,0001	0,0037	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
		0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318	0,1126
		0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318	0,1251
			0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
			0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970	0,1137
			0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0728	0,0948
				0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
				0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
					0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
						0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
						0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
							0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
							0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
								0,0002	0,0006	0,0019
								0,0001	0,0003	0,0009
									0,0001	0,0004
										0,0002
										0,0001

 

 

Приложение 4

 

Таблица значений q = q(g, n)

n	Надежностьγ	n	Надежностьγ
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	1,37	2,67	5,64		0,37	0,58	0,88
	1,09	2,01	3,88		0,32	0,49	0,73
	0,92	1,62	2,98		0,28	0,43	0,63
	0,80	1,38	2,42		0,26	0,38	0,56
	0,71	1,20	2,06		0,24	0,35	0,50
	0,65	1,08	1,80		0,22	0,32	0,46
	0,59	0,98	1,60		0,21	0,30	0,43
	0,55	0,90	1,45		0,188	0,269	0,38
	0,52	0,83	1,33		0,174	0,245	0,34
	0,48	0,78	1,23		0,161	0,226	0,31
	0,46	0,73	1,15		0,151	0,211	0,29
	0,44	0,70	1,07		0,143	0,198	0,27
	0,42	0,66	1,01		0,115	0,160	0,211
	0,40	0,63	0,96		0,099	0,136	0,185
	0,39	0,60	0,92		0,089	0,120	0,162

 

 

Приложение 5

Таблица критических точек распределения где − число степеней свободы

 

k	У р о в е н ь з н а ч и м о с т и a
0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
	0,45	1,07	1,64	2,71	3,84	5,41	6,64
	1,39	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21
	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,84	11,3
	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,7	13,3
	4,35	6,06	7,29	9,24	11,1	13,4	15,1
	5,35	7,23	8,56	10,6	12,6	15,0	16,8
	6,35	8.38	9,80	12,0	14,1	16,6	18,5
	7,34	9.52	11,0	13,4	15,5	18,2	20,1
	8,34	10,7	12,2	14,7	16,9	19,7	21,7
	9,34	11,8	13,4	16,0	18,3	21,2	23,2
	10,3	12,9	14,6	17,3	19,7	22,6	24,7
	11,3	14,0	15,8	18,5	21,0	24,1	26,2
	12,3	15,1	17,0	19,8	22,4	25,5	27iZ
	13,3	16,2	18,1	21,1	23,7	26,9	29,1
	14,3	17,3	19,3	22,3	25,0	28,3	30,6
	15,3	18,4	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0
	16,3	19,5	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4
	17,3	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8
	18,3	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,2
	19,3	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6
	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9
	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3
	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6
	23,3	27.1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0
	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3
	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6
	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0
	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3
	28,3	32,5	35,1	39,1	42.6	46,7	49,6
	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9

 

Приложение 6

Индивидуальные задания по главам

Глава 2 «Математический анализ»

1. Найти пределы (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Пределы

№ вар.	А	Б	№ вар.	А	Б

 

2. Найти производную функции (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Производные

№ вар.	А	Б	В	Г

Продолжение приложения 6

 

Окончание таблицы 2.2

№ вар.	А	Б	В	Г

 

3. Исследовать функцию и построить ее график:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

4. Найти интегралы. Результаты проверить дифференцированием (табл. 2.3).

 

Таблица 2.3

Интегралы

№ вар.	А	Б	В

 

 

Продолжение приложения 6

 

Окончание таблицы 2.3

№ вар.	А	Б	В

 

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

6. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Продолжение приложения 6

 

7. Найти частные производные первого порядка функций (табл. 2.4).

 

Таблица 2.4

Частные производные

№ вар.	А	Б	№ вар.	А	Б

Глава 3 «Теория вероятностей и математическая статистика»