Непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

(3.32)

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

(3.33)

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, как и для дискретной случайной величины, определяется равенством:

(3.34)

Пример 3.50. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Найдем математическое ожидание по формуле (3.31):

т. к. подынтегральная функция начетная, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.

Дисперсию найдем по формуле (3.32):

И, наконец, среднее квадратическое отклонение равно:

 

Равномерное распределение

 

Определение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины если на интервале , которому принадлежат все возможные значения плотность сохраняет постоянное значение и задается следующим образом:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной равномерно, соответственно равны:

Пример 3.51. Цена деления шкалы амперметра 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при округлении ошибка будет превышать 0,02 А.

Ошибку округления показаний прибора можно рассматривать как случайную величину распределенную равномерно в интервале между целыми делениями.

Поскольку интервал равен цене деления амперметра, т. е. 0,1. При этом ошибка округления будет удовлетворять условию, если будет принадлежать интервалу . Тогда плотность распределения имеет вид:

 

По формуле (3.30) найдем соответствующую вероятность:

Нормальное распределение

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

где − математическое ожидание;

− среднее квадратическое отклонение.

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал равна:

, (3.35)

где − функция Лапласа, значения которой представлены в приложении 2.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа равна:

(3.36)

В частности, при справедливо равенство:

(3.37)

Пример 3.52. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале .

Воспользуемся формулой (3.30), учитывая, что получим:

Значения и найдены из таблицы приложения 2.

Пример 3.53. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине мм.

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому, используя формулу (3.36), получим: