Примеры использования закона Био‑Савара‑Лапласа нахождения полей простейших конфигураций тока

1 Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током (Рис. 3.5)

Пусть имеется бесконечно длинный прямолинейный проводник, по которому течет ток I. Нужно найти индукцию (или напряженность) магнитного поля, создаваемого этим проводником в точке М (рис. 3.6).

 

Рис. 3.5 Магнитное поле прямолинейного проводника с током

 

 

Рис. 3.6 Определение магнитной индукции

бесконечного, прямолинейного проводника

 

Разделим проводник с током на множество элементов I d l. Все элементы , создаваемые элементами тока, в данной точке имеют одинаковое направление (вектор , который является векторным произведением векторов и , направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы, т. е. в данном случае перпендикулярно плоскости чертежа, от нас (рис. 3.6). Поэтому векторное сложение элементов индукции поля можно заменить сложением их модулей. Точка М, для которой вычисляется вектор индукции , находится на расстоянии R от проводника. Из рис. 3.6 видно, что

. (3.12)

 

Подставим эти выражения в формулу (3.10), тогда

 

. (3.13)

 

Угол a изменяется в пределах от 0 до p радиан, следовательно, результирующее поле имеет индукцию

 

. (3.14)

 

Таким образом, искомая величина вектора магнитной индукции бесконечного прямолинейного проводника равна

, (3.15)

 

где – расстояние от точки наблюдения до оси проводника; – магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник.

Линии магнитной индукции представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 3.5). Направление обхода силовых линий определяется правилом правого винта.

 

Индукция магнитного поля прямого проводника конечной длины

Если требуется найти магнитное поле конечного прямого проводника с током, то задача решается так же, как и предыдущая, с той лишь разницей, что угол a изменяется в пределах не от 0 до p, а от a₁ до a₂ (рис. 3.7). Обратим внимание а то, что угол интегрирования a является углом между элементом тока и радиус-вектором точки М.

Поэтому, заменив в (3.14) пределы интегрирования угла a, получим для искомой магнитной индукции

 

. (3.16)

 

Рис. 3.7 Определение магнитной индукции

прямого проводника конечной длины

 

В ряде случаев формулу (3.16) удобнее переписать, введя дополнительный угол (см. рис. 3.7)

 

, (3.17)

 

где – угол между проводником и радиус-вектором, проведенным из начала проводника в точку наблюдения; – угол между проводником и радиусом-вектором, проведенным из конца проводника в точку наблюдения.

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция, , и тогда

.