Обобщенные координаты системы

Пусть система состоит из точек и, следовательно, ее положение в пространстве в каждый момент времени определяется координатами точек системы, например декартовыми .

Предположим, что на систему наложены голономные связи, уравнения которых в общем случае могут содержать и производные от координат точек, но после их интегрирования они свелись к геометрическим и имеют форму

, . (222)

Освобождающие связи, выражающиеся неравенствами, не рассматриваются. Таким образом, координат связаны уравнениями и независимых координат будет .

Любые декартовых координат можно задать независимо друг от друга. Остальные координаты определятся из уравнений связей. Вместо независимых декартовых координат можно выбрать любые другие независимые параметры , зависящие от всех или части декартовых координат точек системы. Эти независимые параметры, определяющие положение системы в пространстве, называются обобщенными координатами системы. В общем случае они могут зависеть от всех декартовых координат точек системы, т. е.

, (223)

где изменяется от 1 до . Задание обобщенных координат полностью определяет положение точек системы относительно выбранной системы отсчета, например декартовых осей координат.

У свободной точки три обобщенные координаты. Если точка должна двигаться по заданной поверхности, то обобщенных координат только две и т.д. Используя уравнения связей (222) и выражения обобщенных координат через декартовы (223), можно выразить декартовы координаты через обобщенные, т.е. получить

,

,

.

Соответственно, для радиуса-вектора каждой точки системы , получим

. (224)

В случае стационарных связей время явно не входит в уравнения связей. Для голономных систем вектор возможного перемещения точки в соответствии с (224) можно выразить в форме

. (225)

Система, имеющая независимых обобщенных координат, характеризуется также независимыми возможными перемещениями или вариациями , если связи голономны. Для голономных систем число независимых возможных перемещений совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т. е. . Для неголономных систем в уравнения связей могут входить производные от декартовых координат точек и даже могут быть такие уравнения связей, в которые входят только одни производные. Такие уравнения связей наложат ограничения на вариации , и, следовательно, уменьшат число независимых вариаций, не связывая функциональной зависимостью сами обобщенные координаты . Число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, меньше числа обобщенных координат системы. В дальнейшем рассматриваются только голономные системы, т. е. системы с голономными связями.

Обобщенные силы

Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

. (226)

Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяется обобщенными координатами .

Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и , получим

. (226')

где скалярная величина

называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде

, (227)

– проекции силы на оси координат; – координаты точки приложения силы.

Размерность обобщенной силы в соответствии с (226') следующим образом зависит от размерности , совпадающей с размерностью :

, (228)

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.