Классификация механических связей

В аналитической механике необходимо более подробно рассмотреть связи, налагаемые на точки механической системы. Механической системой, как известно, называют любую совокупность материальных точек. Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называются связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные но времени различных порядков. Для одной точки уравнение связи в общем случае можно выразить в форме

. (217)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением связей, в уравнения которых могут входить производные по времени от координат не выше первого порядка.

Для механической системы, состоящей из точек, уравнений связей представятся системой уравнений

, . (218)

Считается, что индекс принимает все или часть значений от 1 до как для координат, так и для их производных.

Если в уравнения связей (218) входят только координаты точек и не входят производные от координат, то связи называются геометрическими.

Если в уравнения связей кроме координат входят еще и их производные по времени (проекции скоростей точек на оси координат) или только одни производные, кроме времени, то связи называются кинематическими.

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными. Неинтегрируемые кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим, являются неголономными.

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными или склерономными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь называется нестационарной и реономной.

Связи называют неосвобождающими или двусторонними, если они выражаются математически уравнениями, и освобождающими или односторонними, если они выражаются неравенствами.

Все связи можно разделить на реальные и идеальные. К идеальным связям относятся все связи без трения. Некоторые связи с трением тоже относятся к идеальным. Понятие идеальных связей дается после введения понятия возможного перемещения системы.

Возможные перемещения

Для одной точки возможным (виртуальным) перемещением называется такое бесконечно милое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями. Для возможного перемещения не требуется времени на его совершение. Это мысленное перемещение, которое могла бы совершить точка при наложенных на нее связях в рассматриваемый момент времени. В отличие от элементарного (бесконечно малого) действительного перемещения точки , которое совершает точка за время под действием приложенных сил при заданных начальных условиях и наложенных связях, возможное перемещение определяется только связями в данный момент. Проекции возможного перемещения на оси координат, или вариации координат, обозначают , , , а проекции элементарного действительного перемещения на оси координат, или дифференциалы координат при изменении времени на обозначают , , .

Возможных перемещений у точки в момент времени бесконечно много. Если, например, точка движется по поверхности, все допускаемые связью (поверхностью) возможные перемещения как отрезки бесконечно малой длины расположатся в касательной плоскости к поверхности в точке, в которой находится рассматриваемая материальная точка в данный момент времени.

Возможное перемещение , как и действительное , является вектором и потому всегда изображается направленным прямолинейным отрезком.

Возможным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система может иметь несколько и даже бесконечно много возможных перемещений. Вследствие уравнений связей, наложенных на систему, не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы системы.

Свободная точка имеет три степени свободы. В этом случае возможные перемещения (вариации) , , (или выраженные через вариации каких-либо других координат) являются независимыми.