Однородный стержень
Имеем однородный стержень длиной 
и массой 
. Направим по стержню ось 
. Вычислим момент инерции стержня относительно оси 
, проходящей перпендикулярно стержню через его конец:
. (146)
Момент инерции стержня относительно оси 
, проходящей через центр масс и параллельной оси , определяется по теореме Штейнера:
. (147)
Прямоугольная пластина
Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры и 
и массу . Выберем точку 
на середине стороны длиной . Оси и 
расположим в плоскости пластины, параллельно сторонам длиной и соответственно, а ось направим перпендикулярно плоскости.
Моменты инерции пластины относительно осей координат равны:
, 
, 
. (148)
Сплошной диск
Имеем тонкий однородный диск радиусом 
и массой . Оси координат и расположены в плоскости диска. Момент его инерции 
относительно центра диска совпадает с моментом инерции 
относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости диска.
, 
. (149)
Тонкое кольцо (круглое колесо)
Имеем тонкое кольцо радиусом и массой , распределенной по его ободу. Оси координат и расположим в плоскости кольца. Момент инерции относительно его центра совпадает с моментом инерции относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости кольца.
, 
. (150)
Круглый цилиндр
Для круглого однородного цилиндра, масса которого , радиус и длина , его моменты инерции относительно продольной оси симметрии и относительно его поперечной оси симметрии 
равны:
, 
. (151)
Шар
Пусть масса шара , радиус . Моменты инерции шара относительно осей координат и центра шара равны:
. (152)
Теоремы динамики
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему.
Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.
Внешнюю силу, приложенную к какой-либо точке системы, обозначим 
, а внутреннюю – 
. Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.
Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при любом состоянии системы, т. е. при ее равновесии и при произвольном движении.
, 
. (153)
Если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например 
и 
, то для них 
, так как силы действия и противодействия всегда равны друг другу по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой линии, соединяющей взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил 
состоит из векторной суммы таких сил действия и противодействия, так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек. Следовательно, он равен нулю. Так как обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов, их главный вектор равен нулю. Главный момент внутренних сил 
состоит из векторной суммы таких выражений, равных нулю.
Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из 
точек. Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил то для любой 
-й точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения, например, в векторной форме, т. е.
, (
). (154)
Систему дифференциальных уравнений (154) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (154) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему 
дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы.
