Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гар­монических колебаний одинаковой часто­ты w, происходящих во взаимно перпенди­кулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета вы­берем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

Разность фаз обоих колебаний равна j, А и В — амплитуды складываемых коле­баний.

Уравнение траектории результирую­щего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. За­писывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinw t на Ö(1-(х/A)²), получим по­сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произ­вольно:

Так как траектория результирующего ко­лебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически по­ляризованными.

Ориентация осей эллипса и его разме­ры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз j. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляю­щие физический интерес:

1) j=mp(m=0, ±1, ±2,...). В дан­ном случае эллипс вырождается в отрезок

прямой

у=±(В/А)х, (145.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, a), a знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колеба­ние является гармоническим колебанием

с частотой w и амплитудой Ö(A²+В²), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j=

В данном случае

имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

В данном случае уравнение примет вид

Это уравнение эллипса, оси которого со­впадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окруж­ность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующе­го колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, со­вершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лисса­жу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указа­ны вверху).

Отношение частот складываемых коле­баний равно отношению числа пересече­ний фигур Лиссажу с прямыми, парал­лельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко исполь­зуемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых ко­лебаний, а также формы колебаний.