Потенциальное поле сил. Консервативный и диссипативные силы. Потенциальная энергия. З-н сохранения энергии

Потенциальная энергия — механиче­ская энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характе­ром сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществля­ется посредством силовых полей (напри­мер, поля упругих сил, поля гравитацион­ных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими сила­ми при перемещении тела из одного поло­жения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение прои­зошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля на­зываются потенциальными, а силы, дей­ствующие в них,— консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является си­ла трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элемен­тарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA=-dП. (12.2)

Работа d А выражается как скалярное произведение силы F на перемещение d r и выражение (12.2) можно записать в виде

F d r =-dП. (12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной по­стоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциаль­ную энергию тела в каком-то определен­ном положении считают равной нулю (вы­бирают нулевой уровень отсчета), а энер­гию тела в других положениях отсчитыва­ют относительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

F =-gradП, (12.4) где

(i, j, k — единичные векторы координат­ных осей). Вектор, определяемый выраже­нием (12.5), называется градиентом ска­ляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называе­мый оператором Гамильтона или набла-оператором:

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, по­тенциальная энергия тела массой т, под­нятого на высоту h над поверхностью Зем­ли, равна

П = mgh, (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀ = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (ки­нетическая энергия всегда положитель­на!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), П =-mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна дефор­мации:

F_{х упр}= -kx,

где F_xупр — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус ука­зывает, что F_{x упр} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, дефор­мирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направле­на, т. е.

F_x=-F_{x упр}=kx Элементарная работа dA, совершаемая силой F_xпри бесконечно малой деформации dx, равна

dA = F_x dx = kxdx,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П =kx²/2.

Потенциальная энергия системы, подо­бно кинетической энергии, является функ­цией состояния системы. Она зависит толь­ко от конфигурации системы и ее положе­ния по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия систе­мы — энергия механического движения и взаимодействия:

Е = Е+П,

т. е. равна сумме кинетической и потен­циальной энергий.

************

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами. Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d(Т+П) = 0,

откуда

Т+П = E=const, (13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохране­ния механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела кото­рых действуют только консервативные си­лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых меха­ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассе­яния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян­ной. Могут происходить лишь превраще­ния кинетической энергии в потенциаль­ную и обратно в эквивалентных количе­ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф. Энгельс, этот закон не есть просто за­кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер­гии, выражающий и качественную сторо­ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со­хранения и превращения энергии — фун­даментальный закон природы, он справед­лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи­ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест­во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля­ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает­ся физическая сущность закона сохране­ния и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.