Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t, т. е. x=x (х, t).
На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х= 0, описываются функцией x(0, t)=А coswt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на т, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t= x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
x(x,t)=Acosw(t-x/v), (154.1)
откуда следует, что x (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
x(х, t)=A cosw(t+x/v).
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
x(x,t)=Acos[w(t -х/v)+j0], (154.2)
где А= const — амплитуда волны, w — циклическая частота волны, j0 — начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w (t-x /v)+j0]— фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число
k=2p/l=2p/vT=w/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид
x(x,t)=A cos(wt-kх+j0). (154.4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.
Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде
x(x,t)=Aei(wt-kx+j0),
где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140).
Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.
w(t-x/v)+j0=const. (154.5) Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим
dt -(1/v) dx=0, откуда
dx/dt=v. (154.6)
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
x(r,t)=A0/rcos(wt-kr+j0), (154.7)
где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1 /r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость
v=w/k. (154.8)
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных
где v — фазовая скорость, D= д 2/ д x2 + д 2/ д y2 + д 2/ д z2 — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
Эффект Доплера в акустике
Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.
Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; vист и v пр — соответственно скорости движения источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v 0.
1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т.е.vист=vпр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны l= vT=v/v 0. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой
n= v /l= v/(vT)=n 0
Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте n0, с которой звуковая волна излучается источником.
2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т.е. vпр>0, vист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v+v пр. Так как длина волны при этом не меняется, то
т. е. частота колебании, воспринимаемых приемником, в (v+v пр )/v раз больше частоты колебаний источника.
3. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. vист>0, vпр=0. Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны Я) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v ист T (рис.224), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной l'=l-vист Т=(v-v ист) Т, тогда
т. е. частота v колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/ (v-v ист)раз. В случаях 2 и 3, если vист<0 и v пр<0, знак будет обратным.
4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых источником:
причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.
Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоростей vпр и vист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.
Стоячие волны
Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
Сложив эти уравнения и учитывая, что k= 2p/l (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:
Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой Аст = | 2А cos(2pх/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.
В точках среды, где
2px/l=±mp (m=0, 1, 2,...), (157.3)
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где
2px/l=±(m+1/2)p (m=0,1,2,...),
(157.4)
амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (A ст=2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.
Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:
х 0 = ± тl/2 ( m = 0, 1,2,...), (157.5)
хузл=±(т+1/2)l/2 (m=0, 1, 2,...).
(157.6)
Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l /2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l / 4.
В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2А cos (2px/l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.
Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 222, а), если более плотная — узел (рис. 222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — получается пучность.
Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. „Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заклю
ченной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.
28. 29. Средняя скорость и поток молекул основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m 0 v-(-m 0 v)=2m 0 v, где т 0— масса молекулы, v — ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v D t (рис.64). Число этих молекул равно n D Sv D t (n— концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке
DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6nDSvDt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
D Р = 2 m 0 v •1/6 n D Sv D t =1/3n m 0 v 2D S D t.
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
p =DP/(DtDS)=1/3nm0v2. (43.1)
Если газ в объеме V содержит N молекул,
движущихся со скоростями v 1, v 2,..., vN, то
целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
характеризующую всю совокупность молекул газа.
Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид
р = 1/3пт0 <vкв>2. (43.3)
Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по все-
возможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n = N/V, получим
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m = Nm 0, то уравнение (43.4) можно переписать в виде
pV =1/3m<vкв>2.
Для одного моля газа т = М (М — молярная масса), поэтому
pV m=1/3M<vкв>2,
где Vm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pVm=RT. Таким образом,
RT=1/3М <vкв>2, откуда
Так как М = m0NA, где m0—масса одной молекулы, а NА — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
где k = R/NA —постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
<e0) =E/N = m0 <vкв> )2/2 = 3/2kT(43.8)
(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при T=0 <e0> =0,
т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.
