III. Доверительный интервал для дисперсии нормальной СВ

Пусть Х ~ N (m, σ²) причем и - неизвестны. Пусть для оценки извлечена выборка объема

1. В качестве точечной оценки дисперсии используется исправленная выборочная дисперсия: которой соответствует стандартное отклонение

2. При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика имеющая - распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра

3. Задается требуемый уровень значимости .

4. Тогда, используя таблицу критических точек распределения, нетрудно указать критические точки для которых будет выполняться следующее равенство:

(32)

Неравенство (33)

может быть преобразовано в следующее:

 

(34)

Таким образом, доверительный интервал накрывает неизвестный параметр с надежностью А доверительный интервал с надежностью накрывает неизвестный параметр

 

 

Статистическая проверка статистических гипотез.

Большинство эконометрических моделей требуют многократного улучшения и уточнения. Для этого необходимо провести расчеты, связанные с установлением выполнимости или невыполнимости тех или иных предпосылок, анализом качества найденных оценок, достоверностью полученных выводов. Обычно эти расчеты проводятся по схеме статистической проверки гипотез.

Во многих случаях необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, R), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность СВ распределена по закону R

Возможен другой случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен ожидаемому числу выдвигают гипотезу:

Статистической гипотезойназывается любое предположение о виде закона распределения или о параметрах неизвестного закона распределения. В первом случае гипотеза называется непараметрической, а во втором параметрической.

Гипотеза подлежащая проверке, называется нулевой или нуль – гипотезой (основной). Наряду с нулевой рассматривают гипотезу которая будет приниматься, если отклоняется . Такая гипотеза называется альтернативной (конкурирующей).

Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра некоторому значению т.е. то в качестве альтернативной могут рассматриваться следующие гипотезы:

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи, а нулевая гипотеза часто специально подбирается так, чтобы отвергнуть ее и принять тем самым альтернативную гипотезу. Для того, чтобы принять гипотезу о наличии корреляции между двумя экономическими показателями (например, между инфляцией и безработицей), можно опровергнуть гипотезу об отсутствии такой корреляции, взяв ее в качестве нулевой гипотезы.

Гипотезу называют простой, если она содержит одно конкретное предложение

Гипотезу называют сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез:

При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить гипотезе . Тогда она отклоняется. Если же статистические данные согласуются с выдвинутой гипотезой, то она не отклоняется. В последнем случае частот говорят, что нулевая гипотеза принимается. Статистическая проверка гипотез на основании выборочных данных неизбежно связана с риском принятия ложного решения. При этом возможны ошибки двух родов.

1. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза.

2. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как в действительности верна альтернативная гипотеза.

Возможные результаты статистических выводов представлены следующей таблицей:

 

Результаты проверки гипотезы	Возможные состояния гипотезы
верна	верна
Гипотеза отклоняется	Ошибка первого рода, вероятность	Правильный вывод, вероятность
Гипотеза не отклоняется	Правильный вывод, вероятность	Ошибка второго рода, вероятность

Последствия указанных ошибок неравнозначны.

Первая приводит к более осторожному, консервативному решению, вторая – к неоправданному риску.

Исключить вообще ошибки 1–ого и 2–ого рода невозможно в силу ограниченности выборки. Поэтому стремятся минимизировать потери от этих ошибок. Отметим, что одновременное уменьшение вероятностей данных ошибок невозможно, т.к. задачи их уменьшения являются конкурирующими, и снижение вероятности допустить одну из них влечет за собой увеличение вероятности допустить другую. В большинстве случаев единственный способ уменьшения вероятности ошибок состоит в увеличении объема выборки.

Вероятность совершить ошибку 1–ого рода принято обозначать буквой и ее называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку 2–ого рода обозначают Тогда вероятность не совершить ошибку второго рода называется мощностью критерия.

Обычно значения задают заранее, «круглыми» числами (например, 0,1; 0,05; 0,01 и т.п.), а затем стремятся построить критерий наименьшей мощности. Т.о., если то это означает, что исследователь не хочет совершить ошибку 1–ого рода более чем в 5-ти случаях из 100.