В начале показатели ранжируются по важности. Но их упорядочение носит чисто качественный характер, т.е. никаких количественных оценок важностей не производится. Затем выбирается первый, самый важный, показатель и находится оптимальная по нему альтернатива. После этого назначается уступка, т.е. интервал, в котором могут варьироваться значения первого показателя. Другими словами, определяется насколько первый показатель может отличатся от своего оптимального значения.
Потом производится оптимизация по второму показателю. При этом оптимальное значение второго показателя ищется при допустимой уступке первого. Далее определяется уступка по второму показателю и т.д. В качестве оптимальной по векторному критерию принимается альтернатива вычисленная в конце многоэтапной оптимизации.
В этом методе скаляризация векторного критерия непосредственно не производится. Возможность использования регулярных методов оптимизации обеспечивается за счет процедуры последовательного применения скалярных показателей в качестве критериев оптимизации. От оптимизации по главному критерию этот способ принципиально отличается тем, что в процессе оптимизации участвуют все компоненты векторного критерия.
Оптимальность по Парето.
Прежде чем рассматривать данный метод, определим понятие доминирования
Альтернатива А1 доминирует над альтернативой А2, если по всем показателям (локальным критериям) А1 не уступает А2, а хотя бы по одному из них лучше.
Данный метод, рассматривая все множество альтернатив, отбрасывает те из них, которые доминируются хотя бы одной альтернативой. Таким образом, создается множество недоминируемых альтернатив. Оно называется Парето оптимальным, и именно из него следует выбирать решение. Итак, поиск решений по принципу Парето-оптимальности дает множество допустимых решений, а не одно единственное..
Для выбора наилучшей альтернативы можно использовать один из рассмотренных выше методов скаляризации, или привлечь дополнительную неформальную информацию о ценности вариантов решений, составляющих Парето-оптимальное множество. Держателем такой информации обычно является лицо, принимающее решения (ЛПР). Именно ЛПР, рассматривая и анализируя недоминируемые альтернативы, выбирает ту из них, которая с его точки зрения является оптимальной (точнее рациональной). Если число элементов Парето-оптимального множества сравнительно невелико, то такой выбор ЛПР может и должен произвести. В противном случае вновь в полной мере возникают все трудности оптимизации и ранжирования по векторному критерию. Однако тот факт, что ЛПР подключен к решению задачи в качестве носителя неформальной информации, позволяет поставить вопрос о ее формализации с тем, чтобы, с одной стороны, помочь ЛПР разобраться в своих оценках и,с другой стороны, использовать ее в формализованной процедуре принятия решений. Это можно сделать на основе понятий полезности альтернатив или их относительной предпочтительности.
Полезность
Полезность является индивидуальной оценкой качества альтернатив определяемой ЛПР. Она отображает его систему ценностей на полном множестве альтернатив (можно на реализуемом). Полезность принято измерять в числовой шкале. Обычно в 0-1 или в 0-100. Это дает возможность количественно оценить во сколько или на сколько одно решение полезнее другого с точки зрения ЛПР. Таким образом, назначение полезностей альтернатив можно рассматривать как еще один способ скаляризации векторного критерия.
Содержание понятия полезности легко проиллюстрировать на следующем примере (см. рис.1). Пусть некоторому лицу (по нашей терминологии это ЛПР) предлагается купить билет для участия в лотерее с выигрышем в 100 у.е. Билеты четырех типов. По билету первого типа вероятность выигрыша равна 0,25, второго - 0,5, третьего - 0,75 и четвертого -1. Нетрудно убедиться, что математические ожидания выигрышей по каждому типу билетов соответственны равны: 25, 50, 75 и 100 у.е. Согласно общепринятой логике справедливая цена лотерейного билета равна математическому ожиданию выигрыша по нему (прямая 1). Поэтому названные суммы можно рассматривать как объективные полезности билетов. Однако индивидуальные особенности ЛПР могут вносить свои коррективы. Если оно склонно к риску, то вполне может заплатить за билет больше его объективной стоимости в надежде выиграть 100 у.е. Причем, если риск связан с небольшими затратами, то его можно увеличивать. Эта ситуация отражена на рис.1 кривой 2. Если же ЛПР склонно к осторожности и ему даже объективная цена билета кажется чрезмерной, то его оценка полезности участия в лотерее будет соответствовать кривой 3. Наконец, если ЛПР готов рисковать, когда затраты невелики, и проявляет осторожность, когда возрастают, его функция полезности выражается кривой 4.
Вопросы организации процедур назначения полезностей, их свойства и операции над ними рассматриваются в специальном разделе исследования операций «теории полезности».
Предпочтения
. Предпочтения определяются в шкале отношений, Обычно используется бинарная шкала. ЛПР сопоставляет попарно совокупности значений показателей (альтернативы) и определяет какая из них предпочтительней или же они равноценны. Таким образом, на множестве альтернатив вводится отношение не строгого порядка, что отвечает их не строгому ранжированию. Многомерная скалярная функция, формализующая это ранжирование, называется функцией предпочтений (ФП) и на ее основе возможно проводить оптимизацию и ранжирование модельно реализуемых альтернатив. Процедуру вычисления ФП можно также рассматривать как способ скаляризации векторного критерия. Более подробно формализация предпочтений в форме ФП будет рассмотрена ниже при описании системы поддержки решений DSS/UTES.
Резюме
Во-первых,следует иметь в ввиду, что в разделе рассмотрены далеко не все методы скаляризации векторного критерия. Это относится в первую очередь к таким достаточно распространенным подходам как лексикографические методы, методы основанные на построении кривых безразличия, методы группы «Электра» и т.п (см. например).
Во-вторых, общим свойством всех рассмотренных подходов, как, впрочем, и не рассмотренных, является их зависимость от субъективизма ЛПР. Это проявляется в том, что выбор метода и назначение его необходимых внутренних параметров осуществляется (или, по крайне мере, должно осуществляться) либо непосредственно ЛПР, либо с его участием. Это положение приобретает принципиальный характер, когда речь идет о принятии решений с помощью СППР (системы поддержки принятия решений). Метод скаляризации в СППР может быть «прописан», и если система для ЛПР не прозрачна, то нет никакой уверенности в том, что он отвечает подходу ЛПР. Поэтому ЛПР необходимо понимать основные достоинства и недостатки различных методов скаляризации векторного критерия. Кратко рассмотрим их.
Критерий среднего взвешенного. Достоинства
1. Простота формализации
2. Ясный физический смысл
3. Учет индивидуальных представлений ЛПР о задаче при назначении весовых коэффициентов (важностей)
4. Наличие простой формальной процедуры (метод парных сравнений), облегчающей процесс назначения весовых коэффициентов
Недостатки:
1. Неявная взаимная компенсация показателей, которая становится неконтролируемой при большом их числе.
Не учет нелинейной зависимости весовых коэффициентов от значений показателей: важности вводятся один раз и остаются постоянными величинами.
Метод идеальной точки. Достоинства:
1. Компоненты векторного критерия рассматриваются в совокупности (без применения сверток)
2. Четкая формальная постановка
Недостатки:
1. Неявная взаимная компенсация показателей, которая становится неконтролируемой при большом их числе.
2. Произвольный выбор метрики
3. Непредставимость расстояния между двумя точками n-мерного пространства (при n>3).
Метод последовательных уступок. Достоинства:
1. Содержательная простота
2. Учет всех компонент векторного критерия
Недостатки:
1. Необходимость предварительного ранжирования показателей по важности
2 Трудность определения величин уступок
3. Практическая не реализуемость при большом числе показателей
Оптимальность по Парето. Достоинства:
1. Метод математически строг и понятен пользователю.
2. Выделяет множество допустимых решений.,
3. Дает возможность ЛПР сосредоточить анализ решений на более узком множестве и выбрать субъективно оптимальное решение.
Недостатки:
1. Применимость метода ограничена мощностью Парето-оптимального множества (для непосредственного выбора решения количество его элементов не должно превышать 7-10). Если у недоминируемого множества большая мощность, то метод трудно выполним без привлечения одного из рассмотренных выше способов.
Свертка по полезности, свертка по предпочтениям. Хотя оба метода можно рассматривать как способ скаляризации векторного критерия, по существу это способы выявления неформальной информации, которой обладает ЛПР. Информации основанной на знаниях, опыте, интуиции и сложившейся на этой основе системе ценностей ЛПР. Внешне они просты для пользователя, однако это далеко не так. Выявление и формализация системы ценностей ЛПР, выражаемой в виде предпочтений или полезностей требует организации достаточно сложных процедур Одна из таких процедур будет показана ниже на примере СППР DSS/UTES.
