Способы скаляризации векторного критерия

1.2.1. Выбор главного критерия

Пусть (w₁,w₂,...,w_n)- множество показателей. В соответствии с этим способом лицо принимающее решения (ЛПР) выбирает самый важный показатель w_i. При этом остальные показатели w_j при "j¹i переводятся в ограничения. Для задачи оптимизации альтернатив можно записать:

 

а ⁰=arg max w_i (a), w_j (a⁰) ³(£)c_j при "j¹i ….(1.5)

Этот способ по существу равносилен отказу от векторного критерия и переходу к скалярному. При этом происходит большая потеря информации, т.к. значения всех критериев кроме главного учитываются только в ограничительном смысле.

 

1.2.2. Свертка показателей

Употребительны два метода свертки показателей:

- Аддитивная свертка. Это свертка в виде взвешенной суммы показателей. Такой вид свертки используется чаще.

- Мультипликативная свертка. Критерий представляются в форме некоторого отношения показателей.

1.2.2.1. Критерий среднего взвешенного.

B этом методе критерий W представляется в виде суммы показателей с весовыми коэффициентами a_i, которые также называются коэффициентами важности. Они отражают ценность i-ого показателя (его важность.) по сравнению с остальными.

Наиболее употребителен следующий вид свертки:

_n

W=å a_i u_i где u_i=w_i/w_{i max …………………} (1.6)

ⁱ⁼¹

Здесь u_i нормированное значение показателя w_i равное его отношению к максимально возможному. Чем ближе значение u_i к 1, тем выше качество, достигнутое по этому показателю. Нормировка вводится потому, что все слагаемые суммы (3) должны иметь одинаковую размерность, иначе их нельзя было бы складывать.

Для весовых коэффициентов так же вводится условие нормировки в виде: å a_i=1. Эти коэффициенты назначаются экспертами или ЛПР, либо непосредственно, либо с помощью специальной процедуры называемой “метод парных сравнений” (МПС).

В основу МПС положена квадратная матрица, строки и столбцы которой отвечают упорядоченным последовательностям показателей. Элементы матрицы а_ij показывают на сколько или во сколько раз (в зависимости от метода) i-й показатель важнее j – го. Обработка заполненной матрицы позволяет получить искомые нормированные коэффициенты важности. Алгоритмы обработки будут рассмотрены особо.

Как уже говорилось, различают аддитивный и мультипликативный методы парных сравнений. В аддитивном определяется, на сколько один показатель важнее другого, причем сумма весовых коэффициентов в каждой паре должна быть равна 1: (a_ij + a_ji = 1). В мультипликативном произведение весовых коэффициентов в парах равно 1: (a_ij * a_ji = 1),и соответственно, определяется, во сколько раз один показатель важнее другого.

При непосредственном назначении всех элементов матрицы парных сравнений эксперты или ЛПР могут проявить непоследовательность суждений при сопоставлении отдельных пар, что приведет к несогласованности элементов матрицы и возникновению петель нетранзитивности. В этом случае необходима коррекция сделанных назначений.

Однако, матрицу можно задать лишь первой строкой, и из условий симметрии и нормировки формально определить ее целиком.. Тогда она будет внутренне согласованной, но зато будет хуже отображать точку зрения ЛПР или эксперта.

В рассмотренном методе в качестве скаляризованного критерия используется среднее взвешенное значение показателей.

Метод идеальной точки.

В этом методе векторный критерий W рассматривается как точка в n-мерном пространстве, координаты которой соответствуют значениям показателей. Можно определить следующую последовательность действий:

а) Назначаем по всем показателям лучшие значения, которые могут быть достигнуты. Таким образом, в критериальном пространстве определяется так называемая «идеальная точка», соответствующая абсолютно лучшей альтернативе. Идеальную точку можно назначать как с учетом ее реализуемости, так и без.

Суть метода: вычисляем для каждой альтернативы расстояние до идеальной точки, и оптимальной альтернативой будем считать ту, у который расстояние до идеальной точки. минимально.

Для измерения расстояния до идеальной точки необходимо вводить метрику в критериальном пространстве. Ее можно задавать произвольно, но обычно используют евклидово пространство.

В этом методе скаляризация векторного критерия заключается в замене его расстоянием до идеальной точки.

1.2.2.3. Критерий «эффективность - стоимость»

Формально этот критерий - мультипликативная свертка двумерного вектора, и его можно было бы рассматривать в рамках сверток такого типа. Однако, его популярность настолько велика, что он заслуживает отдельного рассмотрения. Его широкое хождение, в первую очередь объясняется тем, что он очень прост и прозрачен. В самом деле, отношение эффективности принимаемого решения к затратам на его реализацию показывает, с одной стороны, насколько оправданы производимые вложения и, с другой стороны, во что может обойтись неоправданная экономия средств. Однако, заложенная в нем идеология не столь проста, как кажется на первый взгляд. Дело в том, что зависимость критерия от эффективности линейная, а от стоимости гиперболическая. В силу этого он отдает явное предпочтение дешевым решениям (проектам), а в дорогих относится к затратам весьма «снисходительно». Это хорошо иллюстрируют кривые рис.1.

Рис.1.1

 

При обращении к критерию «эффективность-стоимость» ЛПР должен внимательно относится к тому насколько критерий отвечает пользовательскому пониманию задачи, и корректировать его особенности путем ограничений типа: «стоимость не выше, чем…», «эффективность не ниже, чем…».