Производные и дифференциалы высших порядков

1. Производные высших порядков. Если функция определена на некотором множестве X={ x } и имеет производную - некоторую функцию, определенную на Х, то производная от производной называется второй производной (производной второго порядка) и обозначается следующими символами: (если независимая переменная t – время, для физических приложений).

Высшие производные определяются по индукции. Производной n -го порядка (n -ой производной) функции в точке х называется производная от производной (n–1)-го порядка

(1)

Производные высшего порядка иногда обозначают с помощью римских цифр:

2. Основные правила вычисления n-ых производных.

1) ;

2)

3) Формула Лейбница:

3. Производные n - го порядка от некоторых функций:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

6. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом n -го порядка называется значение дифференциала d от дифференциала (n –1) порядка, когда приращение аргумента dx при вычислении очередного дифференциала равно приращению аргумента dx для предыдущего дифференциала. При этом очередной дифференциал вычисляется так же, как и первый дифференциал - как главная линейная часть приращения функции.

(1)

Если х - независимая переменная, то при этом условии справедливы формулы:

(2)

Откуда следует точное выражение для n -ой производной в дифференциальной форме, которое используется и как единый символ для обозначения n -ой производной:

(3)

Если х не является независимой переменной, а является функцией какой-либо другой переменной, например t, то формулы (2)-(3) становятся неверными и высшие дифференциалы нужно находить из исходного определения по формуле (1). В частности при n =2 можно получить из (1):

(4)

За счет появления второго слагаемого в формуле (4) второй дифференциал (2) и последующие дифференциалы являются не инвариантными относительно замены переменой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1. Найти производную 2-го порядка от функции

Решение.

ПРИМЕР 2. Найти производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически

Решение.

ПРИМЕР 3. Найти производные для функции заданной параметрически:

Решение. Для получим:

Аналогично находим 3-ю производную:

ПРИМЕР 4. Найти производную 2-го порядка от функции, заданной неявно

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения производной, заданной неявно:

ПРИМЕР 5. Пусть функция определяется из уравнения Найти в точке с координатами

Решение. Дифференцируя данное соотношение, имеем

(1)

Откуда следует, что Следовательно, Вторую производную удобнее найти, предварительно перобразовав уравнение (1) к виду

Получим

Решаем уравнение относительно и подставляем в полученное выражение Тогда

ПРИМЕР 6. Найти (n) -ю производную от функции

Решение. Продолжая операции дифференцирования, для (n) -ой производной получим

ПРИМЕР 7. Найти дифференциал 2-го порядка функции

Решение.

ПРИМЕР 8. Найти дифференциал (n)- го порядка функции

Решение.

Теперь можно увидеть, как изменяются коэффициенты с увеличением порядка дифференциала и для (n)- го дифференциала получить формулу которая верна при