Записать логические утверждения примеров с 3 по 6 в кванторах

ПРИМЕР 3. Утверждение: в любой ε-окрестности числа 2 существует хотя бы один элемент последовательности .

Решение. Записать утверждение в кванторах:

Прочтение: для любого положительного числа ε (можно подчеркнуть: каким бы малым ε не было, или сколь угодно малого) существует номер числовой последовательности , зависящий от ε, начиная с которого на числовой оси найдется номер , такой, что соответствующий ему член последовательности будет находиться в ε-окрестности числа 2.

ПРИМЕР 4. Утверждение. Последовательность является бесконечно большой.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: для любого положительного числа E (можно указать: сколь угодно большого) существует номер числовой последовательности , зависящий от E, начиная с которого все члены последовательности , взятые по модулю, будут больше, чем число E.

ПРИМЕР 5. Утверждение: последовательность имеет конечный предел.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: действительное число А называется (существует число А, называемое) пределом последовательности при , если для любого положительного числа ε (сколь угодно малого) найдется такой номер , начиная с которого все члены последовательности будут лежать в ε-окрестности числа А.

ПРИМЕР 6. Утверждение: последовательность не может иметь своим конечным пределом число 1.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: найдется такая ε-окрестности числа 1, что какой бы номер последовательности мы не взяли, правее его на числовой оси будет существовать номер , такой, что член последовательности с эти номером будет находиться вне рассматриваемой ε-окрестности числа 1.

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести примеры:

а) сходящейся последовательности;

б) ограничеснной сверху последовательности;

в) ограничеснной снизу последовательности;

г) ограничеснной последовательности;

д) неограничеснной последовательности;

е) бесконечно малой последовательности;

ж) положительной бесконечно большой последовательности;

з) отрицательной бесконечно большой последовательности;

и) бесконечно большой последовательности;

к) имеющей две предельные точки;

л) расходящейся последовательности.

2. Даны последовательности:

Выяснить, какие из последовательностей являются бесконечно малыми, бесконечно большими, ограниченными, имеющими конечный предел, имеющими несколько предельных точек.

3. Доказать, что последовательность является бесконечно малой:

4. Доказать, что последовательность является бесконечно большой:

5. Найти предел последовательности

Ответы

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) .

ГЛАВА 3

Предел функции

1. Определение предела функции. Пусть - множество вещественных чисел. Если поставлено в соответствие по определённому закону " f " единственное вещественное число , то говорят, что на определена функция (однозначная), обозначается этот факт .

Совокупность всех значений , т.е. , когда принимает значения из , называется областью значений функции, называется областью определения функции. При этом обозначают: .

Предел функции по Коши.

Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .

Число называется пределом функции при , если (как угодно малого) , что , удовлетворяющих условию выполнено .

Обозначение: (1)

или при .

Предел функции по Гейне.

Число называется пределом функции при , если , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функций сходится к .

Определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.

Функция называется бесконечно малой функцией в точке если .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если , что при .

Функция называется бесконечно большой в точке если , что , удовлетворяющих условию , выполнено . При этом используют обозначение: .

Пусть функция определена в правой (левой) полуокрестности точки , . Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если , что (или - для левой полуокрестности) выполнено . Обозначение:

или .

Нижний знак "–" относится к левому пределу функции.

2. Свойства пределов. Пусть . Тогда

При нахождении пределов часто используется первый или второй замечательные пределы, а также асимптотические равенства.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

2. Асимптотические равенства. Пусть переменная . Тогда

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1. Найти

Решение. Разделим числитель и знаменатель на в максимальной степени, то есть на . Получим

ПРИМЕР 2. Найти

Решение. Разделим числитель и знаменатель на

ПРИМЕР 3. Найти

Решение. Разложим числитель и знаменатель на произведение сомножителей:

ПРИМЕР 4. Найти

Решение. Полагая , имеем:

ПРИМЕР 5. Найти

Решение. Домножим числитель и знаменатель на

ПРИМЕР 6. Найти

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом.

ПРИМЕР 7. Найти

Решение.

ПРИМЕР 8. Найти

Решение.