1. Понятие производной. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки x.
Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента Δ x при 
, если таковой существует:
(1)
Другое обозначение производной: 
. В физике часто производную по времени обозначают точкой над значком функции: 
.
Вводят также понятия односторонних производных, то есть правых (левых) производных, если предел в формуле (1) понимать как правый (левый) предел. Обозначаются правые - левые производные 
соответственно. Например,
Для того, чтобы существовала производная в точке x, необходимо и достаточно, чтобы существовали равные между собой правая и левая производные, при этом
.
С точки зрения физики, производная от координаты пути 
по времени при прямолинейном равномерном движении материальной точки есть мгновенная скорость, 
. По аналогии с кинематической скоростью говорят, что производная от любой функции – это скорость изменения функции по данному аргументу.
С точки зрения геометрии, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке x или угловому коэффициенту k касательной:
.
И тогда уравнение касательной в точке x 0 к графику функции запишется:
Нормалью к кривой в данной точке x 0 называется прямая, перпендикулярная к касательной в этой точке. Так как угол наклона нормали отличается на π/2 от угла наклона касательной α, то угловой коэффициент нормали равен 
и уравнение нормали имеет вид
2. Правила вычисления производных. Пусть функции 
имеют производняе в точке х. Тогда
2.5 Пусть функции 
имеют производные соответственно в точках 
. Тогда 
2.6 Производная функции 
, если задана функция 
, имеет вид 
.
2.7 Производная функции, заданной параметрически 
имеет вид 
2.8 Производная функции , заданной неявно уравнением 
, имеет вид 
.
Таблица производных
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
4. Понятие дифференциала. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение в точке x записывается в виде
(1)
Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке. Потому функции имеющие производную называют дифференцируемыми, а операцию вычисления производной называют дифференцированием.
Главную линейную часть 
приращения функции называют дифференциалом функции и обозначают 
или 
.
(2)
Здесь для симметрии обозначено 
.
Из (2) получаем, что производная функции равна точному отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной
Данное выражение используется и как единый символ для обозначения производной. С учетом выражения (2) для дифференциала условие дифференцируемости можно записать
(3)
или 
(4)
или 
(5)
