Типовые динамические звенья и их передаточные функции

Согласно теореме Виета полином n -го порядка может быть представлен в виде произведения двучленов, а поэтому передаточная функция системы примет вид:

= k × WЭ1(p) × WЭ2(p) ×... × WЭK(p), (3.29)

где qi - корни полинома числителя W(p), называемые ее нулями, ri - корни полинома знаменателя W(p), называемые ее полюсами (напомним, что полюса передаточной функции системы есть корни характеристического уравнения этой же системы); k=b0/a0.

Выражение (3.29) показывает, что любую систему можно представить в виде соединения элементарных звеньев, которые принято называть типовыми динамическими звеньями. Каждое типовое динамическое звено имеет один вход, один выход, обладает свойством однонаправленности передачи входного воздействия и имеет порядок не выше второго.

Передаточные функции типовых динамических звеньев.

а) Безынерционное усилительное звено

x(t) = k× f(t); X(p) = k× F(p); W(p) = X(p)/F(p) = к. (3.30)

Рис.3.2. Структурная схема усилительного звена:

 

б) Интегрирующее звено

k_и× f(t); x(t) = k_и× ;

X(p) = (k_и/p)× F(p); W(p) = X(p)/F(p) = k_и/p или, если принять, что 1/к_и=Т_и - постоянная времени интегрирующего звена, то

W(з)=1/Т_ир (3.31)

Характеристическое уравнение p = 0, т.е. p1= 0.

Рис.3.3. Структурная схема интегрирующего звена:

 

в) Идеальное дифференцирующее звено

x(t) = k_д× ;

X(p) = k_д× p× F(p);

W(p) = X(p)/F(p) = k_д× p=Т_др, (3.32)

где к_д=Т_д – постоянная времени дифференцирующего звена.

Рис.3.4. Структурная схема идеального дифференцирующего звена

 

г) Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка)

T× + x(t) = 1× f(t);

(T× p + 1)× X(p) = 1× F(p);

W(p) = X(p)/F(p) = 1/(T× p + 1). (3.33)

Характеристическое уравнение: T× p + 1 = 0;

p1= -1/T, где Т – постоянная времени апериодического звена.

Рис.3.5. Структурная схема апериодического звена

 

д) Форсирующее звено

, (3.34)

где Т_ф – постоянная времени форсирующего звена.

Рис.3.6. Структурная схема форсирующего звена

 

е) Динамическое звено второго порядка

+ 2x×T0 × + x(t) = 1× f(t);

( × p2+2x×T₀× p + 1)× X(p) = 1× F(p);

W(p) = X(p)/F(p) = 1/( × p2+2×zT₀× p + 1). (3.35)

Рис.3.7. Структурная схема звена

 

Характеристическое уравнение

× p2+2x×T₀× p + 1= 0;

p1,2 = , (3.36)

т.е. значения и характер корней характеристического уравнения зависят от величины коэффициента относительного затухания x.

При x>1 корни характеристического уравнения (см. (3.36)) являются вещественными, и поэтому передаточную функцию рассматриваемого звена можно представить в следующем виде:

, (3.37)

где . (3.38)

В этом случае звено второго порядка эквивалентно по своим динамическим свойствам последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка и называется инерционным звеном второго порядка.

При 0<x < 1 корни характеристического уравнения

p1,2 = -a ± jb,

где , (3.39)

т.е. корни комплексно-сопряженные, а звено называется колебательным.

При x = 0 передаточная функция колебательного звена примет вид

W(p) = 1/( × p2 + 1). (3.40)

Корни характеристического уравнения

× p2+1= 0;

p1,2 = , (3.41)

являются мнимыми сопряженными, а звено называется консервативным.

Рассмотренные передаточные функции и корни характеристических уравнений показывают, что звено второго порядка может обладать разными динамическими свойствами.