Правильные многоугольники и соотношения в них

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Каждый угол правильного многоугольника равен 180º (n – 2) / n, где n – число его углов.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и в каждый правильный многоугольник можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают и эта точка называется центром правильного многоугольника. Центр равноудален от всех вершин многоугольника и также равноудалён от всех его сторон.

Соотношения в правильных многоугольниках.

Обозначения:
п—число сторон правильного многоугольника;
а_n —сторона правильного многоугольника;
R—радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности

- площадь многоугольника

- периметр многоугольника

Выражение сторон правильного многоугольника через радиус описанной и радиусвписанной окружности.

Сторона правильного n-угольника равна , где R - радиус описанной окружности

Сторона правильного n-угольника равна , где r - радиус вписанной окружности.

Правильный треугольник

Правильный четырехугольник (квадрат)

Правильный шестиугольник

Задания с решением.

1. Сторона правильного треугольника равна . Найдите площадь кольца, образованного окружностями, описанной и вписанной в этот треугольник.

Решение.

Имеем для правильного треугольника формулы: и .

По условию . Тогда , откуда и .

Площадь кольца найдем по формуле

Ответ

2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Решение

Для высоты СК верно равенство. СК=R+r

Тогда , то есть , а значит ,

Ответ 2

3. В круг вписан квадрат. Найти площадь квадрата, если длина окружности данного круга равна .

Решение

Длина окружности находится по формуле .

Получаем .Откуда .

По формуле для правильного четырехугольника(квадрата) имеем , то есть

Тогда площадь квадрата

Ответ 450

4. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Решение

Для правильного шестиугольника выполнено . По условию

Тогда

Ответ: 3

5. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: 6.

6. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.

Решение

По условию угол ОАВ равен 54º.Тогда угол правильного многоугольника равен 108º. Но каждый угол правильного многоугольника равен 180º (n – 2) / n, где n – число его углов. Получаем уравнение

Откуда

Ответ 5

7.Разность сторон правильных треугольника и четырехугольника, вписанных в одну и туже окружность, равна 2.Найти периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Решение.

Для треугольника и четырехугольника окружность является описанной.