МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Материалы для самоподготовки
К ЕГЭ и ГИА
по планиметрии
Часть 2
(окружности)
Автор-составитель:
СМИРНОВА
ГАЛИНА ВАСИЛЬЕВНА
АННОТАЦИЯ
Учебно-методические материалы, представленные в данном пособии, предназначаются для самоподготовки школьников и абитуриентов к ЕГЭ и ГИА по математике.
По каждой теме в пособии содержится практически весь необходимый для решения задач теоретический материал, формулы и методические рекомендации. Представлено подробное решение основных видов задач по теме, а также приведено большое количество заданий для самостоятельного решения.
Надеемся, что данное пособие поможет учащимся быстро систематизировать знания и овладеть методами решения задач по планиметрии
СОДЕРЖАНИЕ:
Занятие 8
Окружность и круг. Основные понятия и свойства.
Длина окружности и площадь круга
Углы, связанные с окружностью.
Касательная к окружности, хорды, секущие. Их свойства.
Занятие 9
Теорема синусов. Теорема косинусов.
Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника
Занятие 10
Вписанные и описанные около треугольника окружности. Вневписанная окружность.
Занятие 11
Вписанные и описанные около четырехугольника окружности.
Занятие 12
Правильные многоугольники и соотношения в них.
Занятие 8
Окружность и круг. Основные понятия и свойства.
Длина окружности и площадь круга
Углы, связанные с окружностью.
Касательная к окружности, хорды, секущие. Их свойства.
Окружность и круг. Основные понятия и свойства. Длина окружности и площадь круга
Окружность — замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра).
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус— отрезок прямой, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой/
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром. Диаметр окружности равен двум радиусам.
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей. Это отношение есть трансцендентное число, обозначаемое греческой буквой пи: π=3,14159...
Длина окружности: С = 2π R
Площадь круга 
Сектором круга называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
Площадь сектора равна 
, где α — угловая величина дуги в радианах, R — радиус. Длина дуги такого сектора вычисляется по формуле 
. Если угол 
, то 
Свойства хорд и касательных
ТЕОРЕМА Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
ТЕОРЕМА Диаметр, проведенный через середину хорды (дуги), перпендикулярен этой хорде.
ТЕОРЕМА Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
ТЕОРЕМА В одном круге (или в равных кругах) если дуги равны, то равны и стягиваемые ими хорды и наоборот.
ТЕОРЕМА В одном круге (или в разных кругах) равные хорды равноудалены от центра, и наоборот, если хорды равноудалены от центра, то они равны.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку называется касательной к окружности.
ТЕОРЕМА Если прямая касательная к окружности, то она перпендикулярна к радиусу, проведенному и точку касания.
ТЕОРЕМА Если прямая перпендикулярна радиусу, проведенному через общую точку прямой и окружности, то прямая касательная к окружности.
ТЕОРЕМА Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром окружности.
ТЕОРЕМА Если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют и другую общую точку, симметричную с данной относительно линии центров.
ТЕОРЕМА Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.
ТЕОРЕМА Если две окружности касаются, то точка касания лежит на линии их центров.
ТЕОРЕМА Если через точку, взятую внутри круга, проведены хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра.
Следствие: если через точку внутри круга проведены хорды, то произведение отрезков этих хорд есть величина постоянная.
ТЕОРЕМА Если из точки вне круга проведены к нему касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Следствие: если из точки вне круга проведены к нему секущие, то произведение секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная.
