систем линейных уравнений

Теорема: Для того, чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранги основной и

расширенной матриц были равны.

Доказательство:

Необходимость

Пустьсистемасовместна. Тогда существуют числаx₁,…,x_n ϵ Rтакие, чтоb=x₁a₁+…+x_na_n. Следовательно,

столбецbявляется линейной комбинацией столбцов a₁,…,a_nматрицыA. Из того, что ранг матрицы не изменится,

если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной

комбинацией других строк (столбцов) следует, чтоrang A= rang B.

Достаточность

Пустьrang A= rang B= r. Возьмем в матрицеAкакой-нибудь базисный минор. Так какrang B= r, то он же и будет

базисным минором и матрицыB. Тогда согласно теореме о базисномминорепоследний столбец матрицыBбудет

линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицыA. Следовательно, столбец свободных

членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицыA.

Совместная система следующего вида называется определённой, если она имеет единственное решение;

если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

22.Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

X₁	X₂	………….	X_n	b
a₁₁	a₁₂	………….	a_m	a₁

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…….a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…..…a_2nx_n=b₂

…………………………………..

a_n₁x₁+…………...+a_mnx_n=a_m

1Шаг:

Выбираем разрешающий элемент среди ненулевых элементов матрицы А. Соответствующий ему столбец и строка называются разрешающими.

a_ik

a_pk

a_pj

2Шаг: В разрешающем столбце все элементы, кроме разрешающего, заменяем нулями. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.

3Шаг: Все остальные элементы таблицы рассчитываем по правилам прямоугольника или треугольника.

a^|_pk= – правило прямоугольника

= – правило треугольника

4Шаг: Продолжаем выполнение алгоритма до получения обратной матрицы.

23.Математическая модель Леоньтева межотраслевого баланса.

Пусть на рынке есть n отраслей, каждая их этих отраслей производит определенный вид продукции.

X_i – общий (валовый) выпуск продукции i-ой отрасли. (x_i≥0); i=1,

X_ij – объем продукции i-ой отрасли, которая потребляется j-ой отраслью.

Y_i – конечный продукт i-ой отрасли.

● - вектор валового выпуска продукции; ●A - производственная матрица; ● - вектор конечного спроса.

X=AX+Y X-AX=Y (E-A)X=Y – модель Леоньтьева

Основная задача многоотраслевого баланса состоит в том, что необходимо отыскать такой вектор Х валового выпуска продукции, в котором при известной производственной матрице А, обеспечивается заданный вектор конечного спроса Y. Найти Х. Т.к. матрица S=E-A невырожденная в силу экономического смысла, тогда X=(E-A)^-1 Y. (E-A)^-1 – матрица полных затрат.

Экономический смысл каждого элемента этой матрицы заключается в том, что выпуск продукции каждой из отраслей служит для обеспечения единицы продукции конечного спроса i-ой отрасли.

Критерии матрицы продуктивности A: Матрица А называется продуктивной, если для каждого вектора y существует решение x.

1.критерий: Матрица А является продуктивной, если максимум сумм элементов столбцов не превосходят единицы и существует хотя бы 1 столбец, сумма элементов которого строго меньше единицы.

2.критерий: Матрица А является продуктивной, если все её собственный значения по модулю меньше единицы.

24.Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

AX=0..Данная система является совместной, т.к. решение х=0 называется тривиальным.

Теорема: Однородная система имеет ненулевое решение тогда, когда ранг матрицы меньше числа неизвестных.

а) Следствие: Если число уравнений системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение.

б) Следствие: Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение тогда, когда определитель матрицы = 0

Свойства решений однородной системы:

1. = () является решением системы, то для любого числа K , K = тоже является решением системы.

2. Если вектора и являются решениями линейной однородной системы, то вектор + также являются решением однородной системы.

Доказательство:

1). А

А(k )= k(A )= k*0=0

2).A =0 A =0

A( + )= A + A =0+0=0

3. Если вектор и являются решением однородной системы, то для любых чисел k и m k и k также являются решением.

4.1. Система n-мерных векторов, которые являются линейно независимыми решение однородной системы называется базисом.

4.2.Любой базис называется фундаментальной системой.

Теорема: Если ранг матрицы линейной однородной системы меньше числа переменных, то всякая фундаментальная система решений состоит из n-r решений, где n – число переменных, а r – ранг матрицы.

Пример:

Найти фундаментальную систему решений – ФСР

= rg=2

ФСР = 4-2=2

()

ФСР - (-3;0;5;1) (2;1;-3;0)

25. n-мерное векторное пространство. Векторное произведение векторов и его свойства.

Линейным пространством называется множество элементов, которые удовлетворяют свойствам: 1.Комутативности x+y=y+x 2.Ассоциативности ((x+y)+z=x+(y+z)) 3.Существует нулевой элемент 0 0+x=x+0=x 4.Существует обратный элемент (-x) x+(-x)= 0 5.Существует единичный элемент 1 х*1=1*х=х 6.Ассоциативный закон умножения ()x= + 7.Распределительный 8.Дистрибутивный закон относит. сложения ,

Объектами векторного пространства являются векторы х(х₁,х₂…., х_n); Само пространство называется n-мерным линейным векторным пространством.

Определение: Если в линейном пространстве, задано линейное преобразование А, это означает, что любому элементу линейного пространства ставится в соответствие А_хиз нашего пространства. A_x L при этом выполняются условия: 1.А(x+y)= Ax+Ay. 2.A()= Ax,

Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов и обозначается символом * :

или

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение * равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

* =- *

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

26.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

Теорема (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле

В самом деле по определению находим:

что и требовалось доказать.

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

27. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x₁, x₂, …, x_n X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, …, α_n R, не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0), такие, что α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = 0.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x₁, x₂, …, x_n X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Следствие. Два вектора x₁ и x₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда x₁= α_x2 или x₂ = β_x1 при некоторых α, β R, т.е. когда векторы x₁ и x₂ коллинеарны..

28.Базис пространства. Разложение вектора по произвольному базису.

Определение. Базисом векторного пространства V_L называется любой ненулевой вектор V_L, т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L: и .

Обозначение базиса V_L: } – базис V_L.

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .

, где , – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .

– базис .

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и } –базис V_L. Возьмем произвольный вектор V_L. Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису } векторного пространства V_L.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису } векторного пространства V_L:

и , где . Тогда - и используя закон дистрибутивности, получаем:

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

29.Собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А =, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, …, l_n уравнения:

30.Линейная модель торговли

Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые обозначим соответственно , расходуются на покупку товаров.

Пусть доля бюджета , которую j –я страна тратит на закупку товаров у -й страны. Введём матрицу коэффициентов :

. (1)

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

(2)

Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов её любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

. (3)

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, а в силу условия (2) или (4)

Таким образом, условия (4) принимают вид равенств: (5)

Введём вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

. (6)

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечает её собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (6) в виде, позволяющем определить :

. (7)

31.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде где , а — некоторые элементы поля .

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:

где – собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где – матрица-столбец новых переменных ; – матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

32.Определение положительной и отрицательной квадратичной формы.

1-ое. Квадратичная форма называется положительно определенной, если Х все коэффициенты в каноническом виде положительны или для всех значений переменной Х, для которых хотя бы одна компонента отлична от нуля, значение квадратичной формы положительно.

2-ое. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если Х все коэффициенты в каноническом виде отрицательны или для всех значений переменных Х, для которых хотя бы одна компонента отлична от нуля, значение квадратичной формы отрицательно.

33.Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Комплексные числа С — это пара (a,b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z=(a,b) записывают как z=a+b*i,

Число a называется действительной частью числа z, а число b — мнимой частью числа z. Их обозначают Re z и Im z соответственно: a=Re z, b=Im z.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy -мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

z=a+b*i - называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

Z=a+ bi = r(cos + i sin )

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

34.Основные свойства комплексных чисел.

Коммутативность сложения: z ₁ + z ₂ = z ₂ + z ₁; для любых z₁,z₂ C

Ассоциативность сложения: (z ₁ + z ₂) + z ₃ = z ₁ + (z ₂ + z ₃); для любых z₁,z₂ C

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z + 0 = z; для любого z C

Для любых двух чисел z ₁ и z ₂ существует такое число z, что z ₁ + z = z ₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z ₂ – z ₁.

Коммутативность умножения: z ₁ z ₂ = z ₂ z ₁; для любых z₁,z₂ C

Ассоциативность умножения: (z ₁ z ₂) z ₃ = z ₁(z ₂ z ₃); для любых z₁,z_2, z₃ C

Дистрибутивность сложения относительно умножения: z ₁(z ₂ + z ₃) = z ₁ z ₂ + z ₁ z ₃; для любых z₁,z_2, z₃ C

Для любого комплексного числа z: z · 1 = z.

Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁·z=z₂ Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается z = Деление на 0 невозможно.

35.Возведение в степень, извлечение из степени комплексного числа.

При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

(a+ib)²=(r(cos( +i*sin( ²=r²(cos(2 )+i*sin(2 ))

а также

(a+ib)ⁿ=(r(cos( +i*sin( ⁿ=rⁿ(cos(n )+i*sin(n ))

Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.

Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень. Поэтому модуль корня (целой степени) из комплексного числа получается извлечением корня той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент - делением аргумента на показатель корня:

Корень n-й степени из всякого комплексного числа имеет n различных значений. Все они имеют одинаковые модули, аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла:

36.Понятие множества. Операции над множествами.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами A,B,C, а элементы множества строчными латинскими буквами a,b,c.

Запись A={a,b,….:F(a,b,…)=0 означает, что есть множество А с элементами a,b,…, которые связаны между собой какой-то функцией F(a,b,….)=0.

Объединением двух множеств A и B называется множество A B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. A B={c:с А или с В}

Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множествуA, так и множеству B. A B = {c:c A и с В}

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается . ={x E: x A}, A\B={x E: x A, x B}

Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество А , которое состоит из не общих элементов множеств А и В. А =(A\B) (B\A)

Если предположим, что множество A является подмножеством некоторого универсального множества U, тогда определяется операция дополнения: C_uA= =U\A {a:a U и a A}

37.Основные элементарные функции.

Степенная функция. Это функция: y = axⁿ, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции –частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат. Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x ³ называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x ², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: - < x <+ ;область значений: -1 y +1;

- эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные (| y | 1), всюду непрерывные, не монотонные, но

имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они

ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20);

Графики функций y = tg x и y = ctg x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ),

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности - разрывные. Область

определения и область значений этих функций:

Обратные тригонометрические функции

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1;

их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: - x + ;

их области значений: - /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

Показательная функция. Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, aпри 0 < a < 1 – убывает.
Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции:- < x <+ (т.e. x R);

область значений: y > 0;

Логарифмическая функция. Функция y = log _a x, где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0,а область значений: - < y <+

(т.e. y R);

38.Предел последовательности.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число X_n то говорят, что задана числовая последовательность X₁,X₂….X_n.. Кратко она обозначается символом {X_n}, X_n, n называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство

т. е. Xn (a - ε; a + ε).При этом пишут, что или xn→a при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего. Если а конечное число, то говорят, что последовательность сходится. Если а= , то последовательность расходится.

Утверждение: Если последовательность возрастает и ограничена сверху или убывает и ограничена снизу, то она имеет предел.

39.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности {x_n} такой, что x_n сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции{ сходится к числу A.