Векторы. Основные операции над векторами.
Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.
Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками.
Сверху обычно ставят чёрточку. Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно
обозначить 
или 
. Векторы и 
называются противоположными.
Нулевой вектор - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.
Длина (модуль) вектора - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |.
= 
Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных
прямых. Обозначаются: a || b.
Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Векторы наз-ся равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и напрвление.
Линейные операции над векторами:
1.Сложение векторов. Суммой векторов (
; 
) и 
(
; 
) называется вектор 
( + ; + ),
Правило треугольника: Надо от конца вектора отложить вектор, равный вектору 
.
Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора ,
будет суммой векторов и .
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю
параллелограмма, построенного на этих векторах.
Законы сложения.
I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон) III. a + 0 = a.
II. (a + b) + c = a + (b + c) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).
IV. a + (– a) = 0.
2.Вычитание векторов. Разностью векторов (; ) и (; ) называют
такой вектор (
),
который в сумме с вектором 
дает вектор 
.
Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими
из одной точки; дополнить чертеж отрезком так, чтобы получился треугольник; придать отрезку
направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором
разности.
3.Умножение вектора на число. Произведением вектора 
на число 
называется вектор
такой что = 
и = 
Законы умножения вектора на число.
I. 1 · a = a, 0 · a = 0, m · 0 = 0, (–1) · a = – a. II. m a = a m, | m a | = | m | · | a |.
III. m (n a) = (m n) a. (С о ч е т а т е л ь н ы й закон умножения на число).
IV. (m + n) a = m a + n a, (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й
m (a + b) = m a + m b. закон умножения на число).
Простейшие задачи на плоскости.
Найти расстояние на плоскости между 2мя точками:
-
евклидовое расстояние
Найти координаты точки, делящей заданный отрезок в заданном отношении:
Если 
и 
- координаты точки A,
а 
и 
- координаты точки B, то
координаты x и y точки C, делящей
отрезок AB в отношении 
,
определяются по формулам:
Если т. С яв-ся серединой отрезка, то С 
Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом y= 
и 
Здесь 
и 
- углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, а 
- один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что 
.
Отсюда
.
Т.е. угол между прямыми L1 и L2 определяется по формуле:
Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k1 = k2.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получим из формулы,т.к. tg не существует при k1 k2 + 1 = 0.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 запишем в виде:
.
