Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых

Векторы. Основные операции над векторами.

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.

Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками.

Сверху обычно ставят чёрточку. Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно

обозначить или . Векторы и называются противоположными.

Нулевой вектор - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.

Длина (модуль) вектора - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |.

=

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных

прямых. Обозначаются: a || b.

Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы наз-ся равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и напрвление.

Линейные операции над векторами:

1.Сложение векторов. Суммой векторов (; ) и (; ) называется вектор ( + ; + ),

Правило треугольника: Надо от конца вектора отложить вектор, равный вектору .

Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора ,

будет суммой векторов и .

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих векторах.

Законы сложения.

I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон) III. a + 0 = a.

II. (a + b) + c = a + (b + c) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).

IV. a + (– a) = 0.

2.Вычитание векторов. Разностью векторов (; ) и (; ) называют

такой вектор (),

который в сумме с вектором дает вектор .

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими

из одной точки; дополнить чертеж отрезком так, чтобы получился треугольник; придать отрезку

направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором

разности.

3.Умножение вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор

такой что = и =

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a, 0 · a = 0, m · 0 = 0, (–1) · a = – a. II. m a = a m, | m a | = | m | · | a |.

III. m (n a) = (m n) a. (С о ч е т а т е л ь н ы й закон умножения на число).

IV. (m + n) a = m a + n a, (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m (a + b) = m a + m b. закон умножения на число).

Простейшие задачи на плоскости.

Найти расстояние на плоскости между 2мя точками:

-

евклидовое расстояние

 

Найти координаты точки, делящей заданный отрезок в заданном отношении:

Если и - координаты точки A,

а и - координаты точки B, то

координаты x и y точки C, делящей

отрезок AB в отношении ,

определяются по формулам:

Если т. С яв-ся серединой отрезка, то С

Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом y= и

 

Здесь и - углы наклона прямых L₁ и L₂ к оси Ox, а - один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что .

Отсюда

.

Т.е. угол между прямыми L₁ и L₂ определяется по формуле:

Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получим из формулы,т.к. tg не существует при k₁ k₂ + 1 = 0.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ запишем в виде:

.