Пусть даны два вектора 
и 
, угол между, которыми равен 
. 
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними: 
.
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с
определением равно нулю: (a, 0) = (0, b) = 0.
Скалярное произведение двух векторов:
- положительно, если угол между векторами острый;
- отрицательно, если угол между векторами тупой.
Скалярное произведение (a, a), равное | a | 2, называется скалярным квадратом.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
1 
(П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)
Доказательство: 
2. 
.
Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между
векторами и совпадает с углом между векторами 
и , 
.
Поэтому 
. Откуда 
Аналогично доказывается и равенство 
.
3. 
. (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон)
Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций
вектора на ось, будем иметь
4.Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):
Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух
векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в
координатной форме. Пусть даны два вектора 
и 
.
Их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
. Длина (модуль) вектора a = (x, y, z) равна: 
Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,
получаем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: 
Различные уравнения прямой.
1.Общее уравнение прямой: 
2.Каноническое уравнение прямой:
k=tgα
y-B=kx
y=kx+B
3.Ур-е пучка прямых, проходящих через заданную точку:
y=kx+b
y=kx+ 
-k 
y- =kx-k
4.Ур-е прямой. проходящей через 2 заданные точки:
y- 
=k(x- 
)
k= 
y- 
Гипербола.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от
которых до двух заданных точек F 1 (с;0)и F 2 (-с;0), называемых фокусами гиперболы, есть вели-
чина постоянная =2а.
Здесь начало координат является центром симметрии гипер-
болы, а оси координат – её осями симметрии. Отрезок F 1 F 2 = 2 с, где, c 
называется фокуснымрасстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы.
Число 𝛏 = c / a, e > называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± (b / a) x называются
асимптотами гиперболы. Прямые х= 
называются директрисами гиперболы.
Уравнение гиперболы:
Доказательство: 
