Задача 1. Функция спроса на данный товар имеет вид Qd = 80 – 5P. Функция предложения данного товара Qs = 30 + 5P. Правительство установило налог, уплачиваемый продавцом, в размере 2у.е. за единицу товара. Определите равновесную цену (с налогом и без налога) и равновесный объем продаж. Постройте график. Определите, как распределяется налоговое бремя между продавцами и покупателями и величину избыточного налогового бремени (потеря эффективности для общества). См. К. Макконнелл, С. Брю. Экономикс, 1992г, т. 2, гл.33, стр.207.
Решение. Определим равновесную цену и равновесное количество до налогообложения, приравнивая функции Qd = Qs:
80-5P = 30+5P P=5; Qd = Qs = 55.
Представим равновесие с учетом данных функций графически.
Государство вводит товарный налог на продавца t = 2у.е. Новая цена предложения, учитывающая налог, P t и цена до введения налога P, очевидно связаны между собой следующим образом: P = Pt – t. Для определения функции предложения после введения налога необходимо заменить в исходном уравнении P на (Pt – t). Тогда функция предложения будет иметь вид:
Qs = 30 + 5(Pt – t) = 30 + 5 Pt – 5 t = 30 + 5 Pt – 5*2 = 30 + 5 Pt – 10 = 20+5Pt.
Согласно этой функции, предложение сократится, то есть график предложения сместится вверх на 2у.е. и влево по горизонтали на 10 единиц. Функция спроса не изменится. Определим новое равновесие:
80-5P = 20+5Pt Pd = Pst =6; Qd = Qs = 50.
Цена S1 S Таким образом, равновесное количе -
P D ство покупаемой продукции сократи -
7 лось и цена повысилась. Обратите вни-
6 потери мание, что цена возросла на меньшую
5 покупателей величину, чем налог, в результате дей-
потери ствия механизма рынка.
4 продавцов Объем налоговых поступлений от по-
товарного налога равен произведению
величины налога на продаваемое ко-
20 30 50 55 80 Q личество товара: T = t*Qet = 2*50=100.
Установление налога ведет к потерям и для продавцов и для покупателей. Потери покупателей. Ранее объем 50 потребители покупали по цене 5у.е. Их расходы были равны 50*5=250у.е. Теперь они за этот объем платят 50*6=300у.е. Их потери составляют -50у.е.
Потери продавцов. Ранее продавцы продавали объем 50 по цене 5у.е. и получали доход 250у.е. Теперь они получают доход 300у.е. от продажи 50 единиц по цене 6у.е. Казалось бы, их доходы возросли. Но с каждой проданной единицы продавцы должны заплатить 2у.е., то есть общую сумму 100у.е. В результате реальная цена продажи для них составит 4у.е., и их фактический доход от продажи 50 единиц составит 200у.е., что на 50у.е. меньше, чем до введения налога (это их потери).
В данном примере налоговое бремя распределилось одинаково, что следует из расчетов и видно по графику. Это связано с одинаковой эластичностью спроса и предложения (что показывает коэффициент при независимой переменной в функции спроса и предложения). Если эластичность спроса более высокая, то налоговое бремя в основном падает на продавцов. Если эластичность предложения более высокая, то налоговое бремя падает в большей степени на покупателей.
На графике потери эффективности для общества показаны заштрихованным треугольником. Это тот объем продукции, который не был произведен и его не смогли приобрести покупатели, и тот объем доходов, который не получили продавцы.
Задача 2. Величина спроса на фрукты задана уравнением Qd=20 – 2P, величина предложения Qs = 2 + P.
1) Определите равновесную цену и объем продаж аналитически, по графику и по таблице.
2) На основе данной функции спроса определите, как изменяется эластичность спроса при снижении цены - по показателю общей выручки.
3) Определите, достигается ли при данном равновесном количестве максимальная выручка?
4) Как изменится выручка продавца, если предложение возрастет на 3 единицы? на 5 единиц?
5) Рассчитайте эластичность спроса по коэффициенту эластичности (дуговой и точечной).
Решение. 1) Равновесная цена – цена, уравновешивающая спрос и предложение в результате действия конкурентных сил. В условиях равновесия величина спроса равна величине предложения, цена спроса равна цене предложения. Для аналитического решения приравняем функцию спроса и функцию предложения и найдем равновесную цену:
Qd = Qs 20 - 2p= 2 + p 20-2=2р+р
18 =3р р = 6 рублей.
Подставим значение цены в функцию спроса или в функцию предложения и определим равновесное количество Qd = Qs = 8 единиц.
Графически равновесие – это точка пересечения графиков спроса и предложения. Отметим по вертикальной оси значения цены, по горизонтальной оси – количество продукции и построим графики спроса и предложения по данным линейным функциям. График спроса будет выглядеть как прямая нисходящая линия. Крайние точки – это цена P=10, при которой величина спроса Qd =0, и количество Qd = 20, при цене P=0. Кроме того, отмечаем точку равновесия P=6, Qd =8. График предложения выглядит как прямая восходящая линия. Для построения отмечаем точку на горизонтальной оси - величину предложения Qs =2 при цене P=0 и равновесную точку P=6, Qs =8. Графики пересекаются в точке равновесия.
Для решения в табличной форме необходимо заполнить таблицу, отмечая в ней изменение величины спроса Qd и величины предложения Qs при изменении (снижении) цены. В таблице принято указывать изменение цены, начиная от максимальной до P = 0. Максимально высокая цена – это цена, при которой величина спроса Qd=0. Соответственно, при нулевой цене величина спроса максимальна. По функции спроса находим, что величина спроса Qd = 0, когда P = 10. Далее, на каждую единицу снижения цены величина спроса возрастает на 2 единицы, в соответствии с коэффициентом при независимой переменной (цене). При цене P = 0 величина спроса Qd =20 (max). Величина предложения при снижении цены на одну единицу снижается с учетом коэффициента, данного в функции, также на одну единицу.
При цене P=6руб. установится равновесие, то есть величина спроса равна величине предложения Qd = Qs = 8 единиц.
| Цена P, руб. | Величина спроса Qd, ед. | Величина предложения Qs ед. | Величина предложения | Общая выручка TR= P*Q | Коэффициент эластичности спроса ED | ||
| Qs+3 ед. | Qs+6 ед. | ∆Q%/ ∆P% | ∆Q/∆P* P/ Q | ||||
| ∞ | |||||||
| 5,7 | … | ||||||
| … | … | ||||||
| 1,85 | 1,5 | ||||||
| 1,2 | |||||||
| 0,8 | … | ||||||
| … | … | ||||||
| … | … | ||||||
| … | 0,1 | ||||||
| 0,05 |
2) Эластичность спроса – степень реакции потребителей на изменение цены.Эластичность спроса при линейной функции спроса не остается постоянной величиной. При последовательном снижении цены и движении по графику спроса вниз, эластичность спроса снижается, спрос из эластичного превращается в неэластичный.
Эластичность спроса можно определить по общей выручке TR=P*Q. Если при снижении цены TR растет, то спрос эластичный, снижать цену и увеличивать производство выгодно. Если при снижении цены TR снижается, то спрос неэластичный. Внесем показатели общей выручки TR в таблицу.
3) По таблице видно, что равновесие достигается на участке эластичного спроса, но выручка при данной функции спроса TR=P*Q=6*8=48 не максимальна, то есть возможно дальнейшее снижение цены.
4) Если под влиянием неценовых факторов предложение возрастет на 3 единицы, функция предложения будет иметь вид Qs = 5 + P и сместится по горизонтали на 3 единицы вниз вправо. Новые значения величины предложения внесем в таблицу. Определим новое равновесие аналитически и по таблице. В результате действия рыночного механизма цена снизится до 5руб., объем продаж составит 10 ед., выручка TR=P*Q=5*10=50 возрастет и будет максимальна. Если предложение возрастет на 6ед., цена снизится до 4руб., но выручка TR= P*Q=4*6=48 сократится, поскольку спрос стал неэластичным.
Объем, при котором выручка максимальна, можно определить аналитически. Известно, что в точке экстремума (минимальных или максимальных значений функции) производная от этой функции равна нулю. На основе функции спроса можно составить функцию общей выручки TR= P*Qd. Преобразуем функцию спроса в функцию цены, то есть Qd=20–2P, отсюда P= 10 – 0,5 Qd.
Тогда общая выручка TR= (10 – 0,5 Qd)*Qd = 10Qd – 0,5Qd 2.
В точке максимума производная выручки TR΄ = MR = 0.
TR΄ = (10Qd – 0,5Qd 2)΄ = 10 - Qd = 0. Отсюда Qd =10, соответственно P = 5.
При объеме 10ед. и цене 5руб. выручка достигает максимального значения, соответственно коэффициент эластичности при этом объеме будет равен Ed =1. Дальнейшее снижение цены приведет к снижению выручки, а значит, спрос станет неэластичным, и коэффициент эластичности будет меньше единицы.
5) Эластичность спроса можно определить по коэффициенту эластичности. Обычно для расчета используется коэффициент дуговой эластичности, который применим к небольшим интервалам изменения цены и количества:
= 
= 
= 
: 
= 
, где
- относительное изменение объема спроса;
- относительное изменение цены товара.
В этой формуле в качестве основания берется либо первое, либо второе значение цены и количества.
Более точным является расчет коэффициента эластичности по методу центральной точки, где за основание берем среднюю величину количества и среднюю величину цены:
= 
, или после преобразований
= 
, или 
.
Например, при снижении цены:
- от10руб. до 9руб.→Ed = (2-0)/(2+0) * (10+9)/(10-9) = 1*19=19>1- эл., →∞
- от 9руб. до 8руб. →Ed = (4-2)/(4+2) * (9+8)/(9-8) = 1/3*17/1=5,7>1- эл.
…
- от 7руб. до 6 руб. →Ed = (8-6)/(8+6) * (7+6)/(7-6) = 1/7*13/1=1,85>1- эл.
- от 6руб. до 5 руб. →Ed=(10-8)/(10+8) * (6+5)/(6-5)=1/9*11/1=1,2→1- ед. эл.
- от 5руб. до 4 руб. →Ed =(12-10)/(12+10) * (5+4)/(5-4)=1/11*9/1=0,8<1-н/эл
…
- от 1руб. до 0руб. →Ed=(20-18)/(20+18)*(1+0)/(1-0)=1/19*1=0,05→0 абс.н/эл.
Если график спроса задается линейной функцией Qd = a – bP, то можно определить эластичность спроса в каждой точке на графике, то есть при каждом сочетании цены и количества, применяя коэффициент точечной эластичности. Коэффициент выводится из предыдущей формулы: = .
Показатель -b при независимой переменной (цене) характеризует наклон графика спроса, совпадающий с наклоном касательной во всех точках на кривой спроса и равен -b = ∆Q/∆P. Поэтому в формуле эластичности показатель ∆Q/∆P можно заменить на –b, заданный в функции спроса. Тогда формула для расчета точечной эластичности имеет вид:
= 
, где b – наклон кривой спроса.
В нашем примере в функции спроса Qd = 20–2Pнаклон равен ∆Q/∆P= -2,коэффициент точечной эластичности Ed = = 
.
Знак «минус» говорит только об обратной зависимости между величиной спроса и ценой, поэтому при расчетах коэффициента его игнорируют.
Посчитаем коэффициент точечной эластичности и внесем в таблицу:
P=10, Q= 0 → Ed = 2*10/0 = ∞ -эл.
P=9, Q= 2 → Ed = 2*9/2 = 9 >1- эл.
…
P=6, Q= 8 → Ed = 2*6/8 = 1,5 >1- эл.
P=5, Q= 10 → Ed = 2*5/10 = 1 – ед. эл.
…
P=1, Q= 18 → Ed = 2*1/18 = 0,1 <1-н/эл.
P=0, Q= 20 → Ed = 2*0/20 = 0 – абс. неэл.
Коэффициент точечной эластичности выражает такую же динамику изменения выручки и эластичности спроса, что и коэффициент дуговой эластичности.
Задача 3. Если коэффициент эластичности товара Х по цене составляет 2, что произойдет с объемом спроса при снижении цены с 30 до 20 рублей за единицу товара? Выгодно ли снижение цены?
Решение. По условию задачи коэффициент эластичности равен:
= 2, где
- относительное изменение объема спроса;
- относительное изменение цены товара.
Определим относительное (процентное) снижение цены товара: 
↓ (снижение).
При снижение цены объем спроса возрастает. Определим из формулы увеличение объема спроса на данный товар:
= 
= 2 
40% = 80% ↑ (возрастает).
Поскольку коэффициент эластичности Ed = 2>1, спрос эластичный. Объем спроса возрастает в большей степени, чем снизилась цена, и выручка TR = PQ возрастает, значит, снижение цены выгодно.
Задача 4. При доходе 5000 рублей в месяц семья потребляет 400 единиц товара Х. Эластичность спроса по доходу составляет -0,3. Сколько единиц товара Х будет потреблять домохозяйство, если доход возрастет на 7 %?
Решение. Коэффициент эластичности со знаком минус означает, что при увеличении дохода, спрос на данный товар сокращается. Речь идет о товарах низшей категории. Применяя коэффициент эластичности, определим, насколько сократится объем спроса на данный товар (в процентах):
= -0,3, где 
-относительное изменение объема спроса;
– относительное изменение дохода.
= 
= - 0,3 7% ↑ = - 2,1%
2,1% от 400 составит 8,4 единиц товара Х. Следовательно, семья уменьшит потребление данного товара и будет потреблять (400-8,4) = 391,6 ед. товара Х.
