Задача о баке с наименьшей площадью поверхности

Требуется найти высоту h₀ и радиус r₀ жестяного бака объема V = 30 м³, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

1. Построение модели. Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

, .

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. С математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная обращается в ноль: . Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r_{0 .}, следовательно, в точке r₀ функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀. Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту .

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота

Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.

Обозначим через a_ij стоимость перевозки 1 т муки с i -того склада на j -тый завод (i,j = 1,2). Пусть а₁₁ = 1,2 р., а₁₂ = 1,6 р., а₂₁ = 0,8 р., а₂₂ = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

1. Построение модели. Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через х₁₁ и х₁₂ количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через х₂₁ и х₂₂ – со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда получим следующую систему уравнений:

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой: f = 1,2x₁₁ + 1,6x₁₂ +0,8x₂₁ + x₂₂.

С математической точки зрения задача заключается в том, чтобы найти четыре числа х₁₁, х₁₂, х₂₁ и х₂₂, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающие минимум функции f.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решим систему уравнений (1) относительно х_ij (i,j = 1, 2) методом исключения неизвестных (метод Гаусса). Получим, что

а х₂₂ не может быть определено однозначно. Так как (i,j = 1,2), то из системы (2) следует, что . Подставляя выражения из системы (2) для х₁₁, х₁₂, х₂₁ в формулу для f, получим f = 148 – 0,2х₂₂.

Эта функция линейная, с угловым коэффициентом k = -0,2 < 0. Следовательно, она убывает на всем промежутке [30; 70]. Значит, свое наименьшее (минимальное) значение эта функция принимает при х₂₂ = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяем с помощью системы (2): х₁₁ = 40, х₁₂ = 10, х₂₁ = 0.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Стоимость перевозок будет минимальной, если с первого склада на первый хлебозавод будет поставляться 40 т муки, на второй хлебозавод – 10 т муки, а вся мука со второго склада будет поставляться только на второй хлебозавод.