Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)

Условие задачи

Рис. 6.3. Условие задачи № 34: а – сжатый стержень; б – поперечное сечение стержня

Стержень, показанный на рис. 6.3, а, загружен сжимающей силой F. Поперечное сечение стержня, состоящее из двух швеллеров № 30 и двух планок, соединенных со швеллерами четырьмя болтами, изображено на рис. 6.3, б. Размер планок 400´12 мм, диаметр болтов 20 мм. Материал – сталь С235 с . Требуется:

1) найти значение критической нагрузки;

2) определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;

3) вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.

Решение

Прежде всего найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. 6.3, б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы (5.16), (5.17):

Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения

и минимальный радиус инерции по формуле (5.10)

Теперь можно найти гибкость стержня. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с рис. 6.2, б коэффициент . Тогда по формуле (6.1)

Сравним величину полученной гибкости стержня с характеристиками и для стали С235. По формуле (6.5)

по таблице, приведенной в [4, с. 29],. Таким образом, и для определения критической силы следует использовать формулу Ясинского (6.3):

Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы на с. 29 [4] и переведены из МПа в кН/см².

Найдем допускаемую нагрузку из условия устойчивости по формуле (6.7). Для определения коэффициента используем таблицу на с. 370 [2][16]. Интерполируем значения , заданные в таблице: соответствует , а – . Тогда гибкости рассматриваемого стержня соответствует . Значение допускаемой нагрузки

Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности (6.8). Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты[17]:

Тогда условие прочности

выполняется.

В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле (6.9):

Коэффициент запаса устойчивости находится в пределах .

ПОДБОР СЕЧЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТОГО СТЕРЖНЯ (ЗАДАЧА № 35)

Рис. 6.4. К решению примера 1: а – сжатый стержень; б – поперечное сечение стержня

Пример 1

Условие задачи

Стержень, показанный на рис. 6.4, а,сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.

Решение

Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости имеем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся произвольно. Удобно задаться . Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем

Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 180´11, площадь которого . Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей y и z, которыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 6.4, б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.

Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента: , а расстояние а (см. рис. 6.4, б) сосчитаем:

Таким образом, очевидно, что

Теперь найдем гибкость стержня[18]

и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости:

Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным, поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 160´10. , и гибкость стержня

По таблице находим и видим, что условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:

Сечение из двух уголков 160´10 можно считать экономичным[19]. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию .

В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку стержень с подобранным сечением из уголков 160´10 имеет гибкость , находящуюся в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского:

Действительный коэффициент запаса устойчивости

Пример 2

Условие задачи

Рис. 6.5. Сжатый стержень квадратного поперечного сечения

Деревянная стойка длиной l = 4 м квадратного поперечного сечения сжимается силой F = 100 кН (рис. 6.5). Требуется подобрать размер стороны квадрата а так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15 % площади сечения. Примем допускаемое напряжение на сжатие для дерева

Решение

Поскольку размеры сечения могут быть любыми, используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение. Примем . Из условия устойчивости (6.6) найдем площадь сечения, подставив :

Поскольку , то . Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси

Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):

По таблице находим для дерева . Полученное значение еще сильно отличатся от величины , принятой в начале первого приближения, поэтому выполним второе приближение. Найдем как среднее арифметическое между и :