Пример расчета коленчатого вала

Идеализированная расчетная схема коленчатого вала представлена на рис. 5.32. Левый и правый концы вала имеют шарнирное закрепление в вертикальной и горизонтальной плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Правый конец, кроме того, жестко закреплен от продольного перемещения и поворота сечения вокруг оси стержня. Требуется подобрать радиус круглого сечения шатунной шейки (горизонтальная участок вала длиной ) и размеры прямоугольного сечения кривошипа (вертикальные участки вала длиной ) так, чтобы удовлетворялись условия статической и усталостной прочности вала. Примем следующие исходные данные: кН, кН, кН, , см, см, см, . Для кривошипа отношение сторон прямоугольного сечения . Материал вала – сталь С275 с допускаемым напряжением 190 МПа. Пределы выносливости для симметричного цикла примем в соответствии с [4]: при изгибе МПа, при кручении МПа.

Рис. 5.32. Расчетная схема коленчатого вала

Решение

Определение внутренних усилий. Прежде всего надо найти внутренние усилия в сечениях вала, т. е. построить эпюры усилий. Для этого сначала определим опорные реакции. В заданных закреплениях на концах вала возникает шесть опорных реакций, показанных на рис. 5.33. Составим шесть уравнений статики:

Из них получим ; ; ; ; ; кН·м.

Рис. 5.33. Местные системы координат для определения внутренних усилий в расчетных сечениях 1–10

При вычислении внутренних усилий используем местные системы координатных осей для каждого участка стержня. Направление оси , совпадающей с осью стержня, следует сохранять на всех участках рамы. На рис. 5.33 оно соответствует обходу вдоль оси стержня слева направо. Оси и – главные центральные оси инерции поперечного сечения. Ось будем всегда направлять перпендикулярно плоскости чертежа, ось лежит в плоскости рисунка и меняет свое направление при переходе с одного участка рамы на другой (см. рис. 5.33). При определении усилий используем правила знаков для внутренних усилий, описанные во вступительной части гл. 5 и поясняемые рис. 5.1. Тогда, используя метод сечений, найдем внутренние усилия в расчетных сечениях 1–10:

; ; ;

; ;

; ; ;

; ;

; ;

;

;

; ;

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ; .

Эпюры внутренних усилий, построенные по принятым в условии задачи исходным данным, показаны на рис. 5.34. Эпюры изгибающих моментов откладываем со стороны растянутых волокон. Обратим внимание на соблюдение дифференциальных зависимостей между и , а также между и .

Предварительный подбор сечений шатунной шейки и кривошипа. После построения эпюр можно подобрать размеры поперечных сечений. Предварительный подбор сечений производим из условия статической прочности без учета напряжений от продольной и поперечных сил, а для прямоугольного сечения, кроме того, не учитываем напряжения от крутящего момента. При предварительном подборе сечения допускаемое напряжение примем пониженным – МПа, имея в виду снижение прочности металла за счет усталости при циклически меняющихся напряжениях и необходимости удовлетворения еще условию усталостной прочности. Сначала определим радиус круглого сечения шатунной шейки. Выберем опасное сечение, сравнив величины суммарных изгибающих моментов в потенциально опасных сечениях 3, 4–5 и 6 (см. рис. 5.33). Суммарный изгибающий момент находится по формуле

.

Рис. 5.34. Эпюры внутренних усилий

В сечении 3 кН·см, , тогда кН·см; в сечении 4(5) кН·см, кН·см и кН·см; наконец, в сечении 6 кН·см, кН·см и кН·см.

Видно, что опасным будет сечение 4(5), в котором действует суммарный момент кН·см. Условие статической прочности в опасной точке этого сечения, полученное из третьей теории прочности, имеет вид (5.37)

,

где – приведенный момент, а – момент сопротивления изгибу. Из условия статической прочности найдем необходимый радиус сечения шатунной шейки. В рассматриваемом примере

кН·см.

Из условия кН/см² получим см. Так как в использованном условии прочности не учтена продольная сила, немного увеличим сечение. Достаточно округлить полученный размер в большую сторону. Примем см.

Теперь предварительно подберем размеры прямоугольного сечения кривошипа из условия прочности в угловых точках сечения, где действуют только максимальные нормальные напряжения от изгиба, а касательные напряжения равны нулю. Условие прочности в этих точках имеет вид (5.50).

Прежде чем находить размеры сечения, подумаем, как рационально расположить сечение. Поскольку в рассматриваемом примере , то для обеспечения рациональной работы кривошипа сечение надо развернуть так, чтобы наибольшая сторона была расположена вдоль оси . Тогда , и . Условие прочности (5.50) в этом случае запишется так:

.

Чтобы выбрать опасное сечение, надо сравнить значение числителя в условии прочности в потенциально опасных сечениях правого[14] кривошипа (сечения 7, 8 на рис. 5.33). При самым опасным сечением будет сечение 7, в котором кН·см. Из условия прочности, считая допускаемое напряжение равным 95 МПа, найдем размер сечения кривошипа:

кН/см².

Отсюда 2,72 см. Округляя размер в большую сторону примем см, см.

Рис. 5.35. Эпюры напряжений (в МПа) в опасном сечении шатунной шейки

Построение эпюр напряжений. Построим эпюры напряжений в опасных сечениях с тем, чтобы найти положение дополнительных опасных точек и завершить в дальнейшем окончательную проверку статической прочности. Чтобы найти точное положение опасных точек в круглом сечении шатунной шейки, определим направление суммарного изгибающего момента. Изобразим пары и в виде векторов с учетом их знаков (в опасном сечении и в соответствии с эпюрами отрицательны), определяя их направление по правилу правого винта (см. рис. 5.25). Нейтральная линия для круглого сечения перпендикулярна плоскости изгиба и совпадает с линией действия вектора полного изгибающего момента . На рис. 5.35 построены эпюры нормальных напряжений, вызванных действием изгибающего момента , продольной силы N, и эпюра касательных напряжений от крутящего момента . На эпюрах напряжений учтены знаки усилий. Максимальные напряжения от продольной силы, изгиба и кручения найдены по формулам соответственно (5.33), (5.34) и (5.35).

Построим эпюры распределения напряжений в прямоугольном сечении кривошипа (рис. 5.36). При определении максимальных нормальных напряжений, вызванных продольной силой и изгибающими моментами, использованы формулы (5.33), (5.44) и (5.45). Максимальные касательные напряжения от крутящего момента и поперечных сил найдены по формулам (5.46)–(5.49). Знаки нормальных напряжений соответствуют знакам усилий , и . Стрелками показаны направления касательных напряжений, вызванных усилиями , и с учетом их знаков.

Рис. 5.36. Эпюры напряжений (в МПа) в опасном сечении кривошипа

Проверка усталостной прочности шатунной шейки. Нормальные напряжения от изгиба изменяются по симметричному циклу, а нормальные напряжения от продольной силы постоянны, поэтому характеристики цикла, по которому меняются полные нормальные напряжения,

, .

Касательные напряжения от кручения изменяются по пульсирующему (отнулевому) циклу с такими характеристиками:

.

Найдем эти характеристики, считая радиус шатунной шейки равным 3,1 см. Тогда

см³; см³; см²

и

кН/см²; кН/см²;

кН/см².

Сосчитаем коэффициенты запаса по формулам (5.53), (5.54), (5.52). Примем следующие значения эмпирических коэффициентов:

; ; ; ; ; .

Тогда

;

;

> 1,5,

то есть условие усталостной прочности шатунной шейки выполняется.

Проверка статической прочности шатунной шейки и кривошипа. Проверка статической прочности производится на кратковременное двукратное увеличение нагрузки с учетом напряжений от всех внутренних усилий. Допускаемое напряжение при этом принимается равным 190 МПа.

По построенным ранее эпюрам напряжений выбираем опасные точки. Для круглого сечения шатунной шейки опасными могут быть точки 1, 1¢ (см. рис. 5.35). Для пластичного материала опасной является только точка 1, в которой нормальные напряжения от изгиба и продольной силы имеют один знак (в рассматриваемом примере знак "минус"). В этой точке, кроме того, действуют максимальные касательные напряжения, вызванные кручением. Таким образом, точка 1 находится в "балочном" напряженном состоянии. Проверку прочности в этой точке необходимо осуществлять по теориям прочности, соответствующим материалу. При подборе сечения в условии прочности точки 1 не учитывалась продольная сила. Теперь учтем ее влияние. В соответствии с условием окончательной проверки прочности увеличим найденные ранее напряжения в 2 раза. Сложим нормальные напряжения от изгиба и продольной силы в точке 1:

МПа.

Касательные напряжения в точке 1 МПа. Подставим их в условие прочности по третьей теории (5.31):

МПа < 190 МПа.

Таким образом, условие прочности в точке 1 шатунной шейки выполняется. то есть найденный радиус поперечного сечения см, удовлетворяющий условию и статической, и усталостной прочности, является окончательным.

Для прямоугольного сечения кривошипа опасными могут быть три группы точек, показанных на рис. 5.36. В рассматриваемом примере будем проверять прочность в точках 1 (здесь нормальные напряжения от , и имеют один знак), 2 и 3 (в них складываются имеющие одинаковые направления касательные напряжения от крутящего момента и поперечных сил). Увеличим показанные на рис. 5.36 напряжения в 2 раза и проверим прочность в каждой из опасных точек:

· В угловой точке 1 действуют максимальные по модулю нормальные напряжения, равные сумме напряжений от , и . Точка находится в линейном напряженном состоянии и условие прочности в этой точке

МПа < 190 МПа

выполняется.

· В точке 2 по середине длинной стороны прямоугольника действуют и нормальные

МПа,

и касательные напряжения

МПа.

Точка находится в "балочном" напряженном состоянии и проверку прочности производим по третьей теории прочности (5.31):

МПа < 190 МПа.

· Точка 3 по середине короткой стороны прямоугольника тоже находится в "балочном" напряженном состоянии. В ней действуют нормальные и касательные напряжения:

МПа;

МПа.

Условие прочности в этой точке по третьей теории прочности

МПа < 190 МПа.

Поскольку условия прочности во всех опасных точках выполняются, окончательные размеры поперечного сечения кривошипа см; см.

УСТОЙЧИВОСТЬ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 15.

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 12 (§ 49–51).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 13.

Основные понятия и формулы

При расчете простейших стержневых систем мы научились удовлетворять двум важным требованиям, предъявляемым к конструкциям: требованиям прочности и жесткости стержневой системы. Любая конструкция должна удовлетворять еще одному важному условию, а именно условию устойчивости. Об условии устойчивости сжатых стержней конструкции и пойдет речь в данном разделе.

Рис. 6.1. Сжатый стержень: а – до приложения возмущающей нагрузки; б – под действием возмущающей нагрузки; в – после снятия возмущающей нагрузки – прямолинейная форма равновесия устойчива; г – после снятия возмущающей нагрузки – прямолинейная форма равновесия неустойчива

Положение равновесия стержня может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Чтобы на опыте выявить, каким является равновесие стержня, надо вывести его из положения равновесия, приложив к стержню кратковременную малую возмущающую нагрузку, и посмотреть, как будет вести себя стержень после снятия возмущения. Рассмотрим центрально-сжатый стержень (рис. 6.1, а). Приложим к нему возмущающую нагрузку (сила f на рис. 6.1, б). При действии возмущающей нагрузки рассматриваемый стержень изогнется. Если после снятия возмущения стержень возвращается в исходное прямолинейное состояние, то это состояние называется устойчивым. Если же после удаления возмущающей нагрузки стержень остается в изогнутом состоянии, то первоначальная прямолинейная форма равновесия является неустойчивой. Нагрузка, при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, называется критической. Рис. 6.1, в, г поясняют данное определение критической силы. Если нагрузка меньше критической силы (см. рис. 6.1, в), то после прекращения действия возмущающей нагрузки стержень остается прямолинейным. Если же нагрузка достигла критической величины или стала больше (см. рис. 6.1, г), то стержень после снятия возмущения остается в изогнутом состоянии. Поскольку на практике всегда бывают какие-то возмущения, то при достижении силой критического значения сжатый стержень начинает изгибаться. Описанное явление носит название потери устойчивости центрально-сжатого стержня. Условие, обеспечивающее определенный запас против потери устойчивости стержней конструкции, называется условием устойчивости. Студент должен:

·* научиться находить величину критической нагрузки;

·* уметь обеспечить выполнение условий устойчивости и прочности, то есть вычислять допускаемую нагрузку или подбирать размеры поперечных сечений стержней так, чтобы была невозможна потеря устойчивости и прочности;

·* уметь определять нормируемый или действительный коэффициенты запаса устойчивости. Нормируемый коэффициент запаса устойчивости показывает во сколько раз критическая нагрузка превышает допускаемую, найденную из условия устойчивости. Величина нормируемого коэффициента запаса устойчивости не является постоянной величиной, а зависит от размеров стержня. Действительный коэффициент запаса устойчивости равен отношению критической нагрузки к действующей на стержень сжимающей силе.

Определение критической нагрузки. Перед отысканием критической силы надо найти величину гибкости стержня , которая ищется по формуле

(6.1)

Рис. 6.2. Определение коэффициента m для разных видов закрепления

где l – длина стержня; – коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня; – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня. Рис. 6.2 демонстрирует, чему равен коэффициент для четырех видов закреплений стержней. На этом же рисунке показаны изогнутые оси стержней в момент потери устойчивости. Для запоминания величины коэффициента удобно использовать геометрическую аналогию. С этой целью необходимо выделить на изогнутой оси участок, где деформированная ось представляет собой полуволну синусоиды. Например, для стержня, имеющего два защемленных конца, это участок между точками перегиба (рис. 6.2, в); для стержня, у которого один конец защемлен, другой – свободен, полуволна синусоиды имеет место на удвоенной длине стержня (рис. 6.2, г). Отношение длины участка с полуволной синусоиды к полной длине стержня и даст величину .

В зависимости от величины определение критической силы для стержней из пластичного материала нужно производить по трем формулам:

· если (стержень большой гибкости), то критическая сила определяется по формуле Эйлера

; (6.2)

· если (стержень средней гибкости), то для нахождения критической силы используется формула Ясинского

; (6.3)

· если (стержень малой гибкости), то

. (6.4)

Величины , , коэффициенты a и b в формуле Ясинского зависят от материала. Значение находится из условия, что критическое напряжение, найденное по формуле Эйлера, не должно превышать (материал должен подчиняться закону Гука). Из этого условия можно найти

. (6.5)

, a и b определяются путем обработки экспериментальных данных. Для двух видов стали эти величины заданы в таблице при описании условия задачи № 34 в [4].

Условия устойчивости и прочности. Условием устойчивости центрально-сжатого стержня является условие

, (6.6)

где – коэффициент понижения допускаемых напряжений (или коэффициент продольного изгиба), зависящий от гибкости и материала стержня, – берется из таблиц. (Такая таблица приведена, например, в [2] на с. 370.)[15]

Из условия устойчивости (6.6), если известны размеры сечения, можно найти значение допускаемой нагрузки

, (6.7)

либо, если задана нагрузка F,определить площадь сечения А стержня. Однако найти сразу площадь А из условия устойчивости (6.6) нельзя, так как в этом условии коэффициент зависит от гибкости, которая, в свою очередь, зависит от неизвестных размеров поперечного сечения. Таким образом, в условии (6.6) сразу две неизвестные величины А и , зависящие друг от друга, поэтому подбор сечения из условия устойчивости производят путем последовательных попыток. Целью этих попыток является подбор наиболее экономичного сечения, т. е. определение такого минимального размера А, при котором левая и правая части неравенства (6.6) близки друг к другу (желательно, чтобы они отличались друг от друга не больше чем на 5 %). Подбор сечений, не состоящих из прокатного профиля, т. е. размеры которых могут иметь произвольную величину (круг, прямоугольник и т. п.), удобно производить методом последовательных приближений, который позволяет находить размеры сечения с любой заданной точностью. Последовательность действий при подборе сечений будет описана в примерах решения задач.

Для центрально-сжатых стержней малой и средней гибкости более опасным, чем условие устойчивости, может оказаться условие прочности, которое записывается в таком виде:

. (6.8)

Здесь – так называемая площадь нетто, т. е. площадь сечения, равная полной площади , уменьшенной на площадь , занятую ослаблениями (отверстиями, выточками): .

Определение коэффициента запаса устойчивости. Нормируемый коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле

, (6.9)

где допускаемая нагрузка находится из условия устойчивости (6.7). Обычно нормируемый коэффициент запаса устойчивости больше, чем нормируемый коэффициент запаса прочности, и для пластичных материалов находится в пределах .

Действительный коэффициент запаса устойчивости

,

где F – действующая на стержень сжимающая сила. Действительный коэффициент запаса устойчивости не должен быть меньше нормируемого, в оптимальном случае (для стержней с экономичным расходом материала) – равен нормируемому.

Примеры решения задач