Смешанное произведение векторов в координатах

Пусть дана и в ней 3 вектора

a={ }=>

b=…

c=…

= =(; (k,j)=0)=

= =

Вопрос 22.

Вычисление объему параллелепипеда и тэтраедра.

Пусть дана и в ней 4 вершины

A ;

B ;

C ;

D ;

 

Найти: V-параллелепипеда

Решение: AB=

AC= =

AD=

 

=| |

V-тетраэдра решается аналогично лишь впереди нашей формулы стоит .

Вопрос 23.

Плоскость в пространстве, различные способы задания плоскости

Плоскость одинаково может быть определена в пространстве 2-мя способами.

1. (p и q некоторые векторы). Плоскость задается точкой и направляющим пространством, которая образует векторы p q.

2. С помощью 3-х точек

 

Задача 1.

Пусть дана

π={ ),q()}

Найти: уравнение плоскости π

Строим

()=0.

=0.

Задача 2.

Пусть в Даны три точки π={A,B,C}

A ;

B ;

C ;

Дана M(x,y,z)

AM=

AB=

AC=

(AM,AB A,C)=0 – компланарны

 

Вопрос 24.

Уравнение плоскости заданной точкой и направляющим подпространством.

Зададим на плоскости:

l3 l2 l3

 

 

Геометрический образ, состоящий из двух пересекающихся прямых и базиса l1 и l2 называется общей декартовой или аффинной системой координат.

Пусть в аффинной системе координат Oijk задана точка M0(x0,y0,z0) и L( )

(a1,a2,a3) п

(b1,b2,b3) M

 

M0

Для того, чтобы произвольная M(x,y,z) п вектора

– уравнение плоскости и заданного вектора

Вопрос 25.

Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

Пусть относительно аффинной с. к. Oijk плоскость п задана тремя различными точками.

M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃)

M₂ M M₃

M₁

 

 

Для того чтобы M(x,y,z) п необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов

Вопрос 26.

Параметрическое уравнение плоскости.

- векторно параметрическое уравнение плоскости

Вопрос 27.

Уравнение плоскости в “отрезках”

Пусть дана плоскость п, которая не проходит ч\з начало координат и не параллельна координатным осям, т.е. п пересекает координат ось в точках A,B и C.

Вопрос 28.

Общее уравнение плоскости.

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z: (1)

Итак, уравнение (1) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Всякое уравнение 1-й степени относительно x,y,z является уравнением плоскости.

Вопрос 29.

Плоскость в прямоугольно-декартовой системе координат. Способы задания.

Пусть Оi,j,k помимо тех 2-х способов задания плоскости в общей д.с.к:

 

1) 3-мя точками

2) Точкой и направляющим подпространством

Сущ еще 2 способа, которые справедливы в п.д.с.к.

 

1.

M0 {A,B,C}

Рис.2

 

П={M₀(x₀,y₀,z₀} {A,B,C} - с помощью точки и нормального вектора n.

2. п={ }

п

 

Вопрос 30.

Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.

Пусть в пр.д.с.к. Oi,j,k плоскости п задана точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и (α,β,γ), где

b

a

п M₀

 

 

Для того чтобы прямые a и b были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы скалярные произведение , где M(x,y,z). Тогда M₀M(x-x₀;y-y₀;z-z₀).

 

Вопрос 31.