Простое отношение трех точек, свойства, координатное выражение

Пусть даны 3 точки

A, B – базисные точки

М – делящая точка

 

 

1! Простым отношением трех точек является число

Свойства:

1) Какова бы не была точка М (М≠В) всегда существует , такое что выполняется 4.1

2) Если точка М [AB], то , если М [AB], то

3) Какова бы не была всегда существует М такая что выполняется 4.1.

Координатное выражение.

Пусть

A(

B

M(

Решение:

Пусть A= , B= , M=

△OAM⇒

△OMB⇒

(4.1)

(4.2)

координатное выражение точки, делящий направленный отрезок АВ в данном отношении .

В частности если: M [AB]⇒|AM|=|MB|, .

Вопрос 5.

Полярно-сферическая система координат в пространстве.

Рассмотрим две системы координат: {

M→

OM{x, y, z}

 

 

Введем упорядоченную тройку чисел: M↔ полярно-сфер-ая с.к.

1) r=| | - полярно- сферический радиус

2) - первый полярно-сферический угол. - угол между ОХ и ОМ.

3) - второй полярно-сферический угол. Угол между ОМ и ОМ.

Пример. Определить географические координаты Радины.

Найдем взаимосвязь:

, M(x, y, z)

Рассмотрим △ OM’M – прямоугольный.

|OM’| = rcos

|MM’|= z=rsin

Из △ OAM’⇒x=|OM’|cos , y=|OM’|sin

формула перехода от полярно-сфер-ой с.к. к пр.д.с.к.

Обратно:

Вопрос 6:

Полярно-цилиндрическая система координат в пространстве.

 

1) r – полярно-цилиндрический радиус

r=OM’

2)

Из Из

Рассмотренная система координат применяется в различных областях науки и техники.

Вопрос 7:

Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой в аффинной системе координат на плоскости.

В геометрии существуют 2 вида подхода построения:

1) Аксиоматический (Евклид, Лобачевский, Вейб, Погорелов и др.)

2) Групповой (Клейн)

При аксиоматическом способе построения геометрическая точка, прямая, плоскость относятся к числу неопределяемых понятий.

С точки зрения аналитической геометрии фигура будет считаться заданной, если нам известно какое-либо аналитическое условие или система условий.

Существует 2 способа задания прямой на плоскости:

1.

2.

Вопрос 8:

Уравнение прямой, заданой точкой и направляющим вектором.

Задача:

Вопрос 9:

Уравнение прямой проходящей через 2 различные точки.

, найти уравнение L

Пусть

Если одна из координат

Вопрос 10:

Параметрическое уравнение прямой.

Пусть в одиночной с.к. L задана Найти параметрическое уравнение прямой.

Векторно-параметрическое уравнение прямой:

Смысл: любому параметру t ставится единственная точка

.

, ВОС – взаимно-однозначное соответствие

Вопрос 11:

Уравнение прямой в “отрезках”.

Пусть в аффинной с.к. прямая L не проходит через начало координат и отсекает ОХ – A(a,0), на OY – B(0,b). Найти уравнение прямой L.

Вопрос 12

Общее уравнение прямой.

Любой вектор который || вектору , называется направляющим вектором прямой.

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворят Ax+By+C=0 (1) в некоторой с.к. есть прямая, которая задана точкой M₀(x₀;y₀) где x₀ и y₀ – некоторое решение (1) и имеет координаты {-B,A}.

(1) – общее уравнение прямой

Вопрос 13