Рассмотрим двумерное линейное пространство W.
Каждый элемент z пространства W в некотором базисе однозначно задается двухкомпонентным столбцом 
. Если за базисные элементы пространства W принять 
и 
, то произвольный элемент 
может быть представлен в виде 
.
Введем операцию умножения элементов пространства W по следующему правилу:
Определение
Результатом операции умножения элементов 
и 
пространства W является элемент также этого пространства 
.
Определение
Двумерное линейное пространство W, с базисом { 
, 
}, в котором введена операция умножения элементов, называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент 
W – комплексным числом.
Замечания
1. Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.
2. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа 
на ненулевое 
называется комплексное число 
такое, что 
.
3. Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел вида 
, где a – произвольное вещественное число обладает всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.
На практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи комплексных чисел: в представлении 
символ 
опускается (как бы заменяется не записываемым явно множителем “ единица ”), а символ 
заменяется символом i (называемым иногда “ мнимой единицей ”). Тогда произвольное комплексное число z представимо как 
, а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:
Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что 
, поскольку
.
Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюду 
на число 
, мы формально приходим к соотношению
,
которое согласуется с введенным выше определением.
Достаточно просто может выполняться также и операция деления:
.
Определение
Для комплексного числа 
:
1. Вещественное число a называется вещественной частью z и обозначается 
.
2. Вещественное число b называется мнимой частью z и обозначается 
.
3. Вещественное число 
называется модулем z и обозначается 
.
4. Вещественное число j такое, что 
и 
называется аргументом z и обозначается 
, при условии, что 
.
5. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z и обозначается 
.
Замечание 1
Определения, аналогичные пунктам 1, 2 и 5, могут быть сделаны и для матриц, элементами которых являются комплексные числа.
Замечание 2
Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиус–векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками на плоскости.
Свойства комплексного сопряжения
1. Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых 
:
2. 
;
3. Число z будет вещественным тогда и только тогда, когда 
;
4. Число 
всегда вещественное и неотрицательное;
5. 
;
6. Если 
многочлен с вещественными коэффициентами, имеющий корень l, то этот многочлен также будет иметь и корень 
. Действительно, пусть 
, тогда 
.
Замечание
Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.
Пример
На множестве комплексных чисел решить уравнение 
.
Решение
Перепишем это уравнение, приняв, что 
, то есть 
. Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми представлениями чисел 
и 
.
Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равенству 
. Но поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных a и b:
,
которая, как легко видеть, имеет два решения 
и 
. Поэтому исходное уравнение также имеет два решения 
и 
.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел
Исходя из определения Пр.3.0.3., можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:
.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел соответствует заданию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат.
Пусть
– направляющим элементом полярной оси служит элемент 
,
– значение модуля комплексного числа равно r – расстоянию от начала координат до точки, изображающей данное число,
– значение аргумента 
совпадает с величиной полярного угла j, отсчитываемого против часовой стрелки,
Рис. A.1
тогда комплексное число 
представимо в тригонометрической форме
.
Другой часто используемой формой представления комплексных чисел, является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:
.
В этом случае из 
следует, что 
.
Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются).
Например,
или
.
Пример
Найти какое–либо вещественное решение уравнения 
.
Решение
Из формулы Эйлера следует, что 
, поэтому данное уравнение можно записать в виде или 
, где 
.
Откуда находим, что, то есть 
или окончательно 
.
