Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Определение

Совокупность уравнений вида

(8.7.1)

где –независимая переменная, – искомые функции, – их производные, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид:

.

(8.7.2)

Совокупность функций

(8.7.3)

определенных в интервале , называется решением нормальной системы (8.7.2), если эти функции при подстановке в уравнение системы (8.7.2) обращают их в тождество.

Теорема (Коши)

Пусть для системы дифференциальных уравнений первого порядка (8.7.2) выполняются следующие условия:

- функции , определены и непрерывны по всем аргументам в замкнутой области ,

- частные производные непрерывны в области .

Тогда существует одна и только одна система решений уравнений (2):

,

(8.7.4)

определенная в некоторой окрестности точки и удовлетворяющая в этой точке заданным начальным условиям:

.

(8.7.5)

Условия (8.7.5) называются начальными условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным условиям – задачей Коши.

Совокупность n функций

(8.7.6)

зависящих от и произвольных постоянных , будем называть общим решением системы (8.7.2) в некоторой области , если при любых значениях постоянных эти функции представляют решение системы и если любое решение этой системы может быть записано в виде (8.7.6) при некоторых значениях постоянных .

Совокупность функций

(8.7.7)

получающееся из общего решения (6) системы (8.7.2) при определенных значениях постоянных будем называть частным решением системы (8.7.2).

Если в области выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения (8.7.7) достаточно разрешить уравнения

(8.7.8)

относительно и подставить найденные значения постоянных в соотношения (8.7.6).

Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения постоянных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n–го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Найти общее решение системы уравнений

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при .

Решение

Продифференцировав первое из уравнений системы по , получаем . Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы и заменяя функцию ее выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции: . Решив это уравнение, находим его общее решение . Дифференцируя последнее равенство, имеем . Подставляя выражения для и в первое уравнение системы и приводя подобные члены, получим .

Окончательно, общее решение системы имеет вид

, .

Решим теперь задачу Коши. Подставив в систему (*) вместо y, z и x их начальные значения 0, 1 и 0, получаем систему уравнений для определения постоянных и : 0= 1+ 0, 1=( + ) +( - ) .

Отсюда =0, =1. Следовательно, искомым частным решением являются функции , .

 

Если правые части нормальной системы (8.7.2) являются линейными функциями относительно неизвестных функций , то такая система называется линейной и имеет вид

(8.7.9)

Если функции тождественно равны нулю, то линейная система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

 

Системы линейных однородных диф. уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями x, e и z:

(8.7.10)

где – вещественные числа, t – независимая переменная.

Будем искать частное решение системы (8.7.10) в следующем виде:

(8.7.11)

где a, b, g и k некоторые числа (причем ), которые надо определить так, чтобы функции (8.7.11) были решением системы (8.7.10).

Подставляя функции (8.7.11) и их производные в уравнения системы (8.7.10) и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при a, b, g получим систему уравнений

(8.7.12)

Система (8.7.12) – это однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a, b и g. Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель был равен нулю, т.е. число k было корнем уравнения

(8.7.13)

Уравнение (8.7.13) называют характеристическим уравнением для системы (8.7.10). Оно является уравнением третьей степени относительно k и имеет три корня: . Каждому корню соответствует ненулевое решение системы (8.7.12) (), а следовательно, и частное решение данной системы (8.7.10):

Если корни характеристического уравнения различны и вещественны, то общее решение системы (8.7.10) запишется в виде

или

(8.7.14)

где – произвольные постоянные.

В случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные, корню кратности r соответствует частное решение системы (8.7.10), имеющее вид

(8.7.15)

где – многочлены степени не выше .

Пример

Найти общее решение системы .

Решение

Ищем частное решение системы в виде . Подставляя эти функции в систему, получаем

(П.1)

Составляем характеристическое уравнение . Отсюда получаем уравнение . Корни характеристического уравнения различны и вещественны.

Найдем частное решение, соответствующее корню . Подставим его значение в систему (П.1). Полагая , находим . Решение имеет вид .

Аналогично для корня получаем . Решение имеет вид .

Третий корень дает . Решение .

Общее решение системы имеет вид

 

Пример

Найти общее решение системы

Решение

Ищем частное решение в виде . При этом получаем характеристическое уравнение: или . Корни этого уравнения комплексно сопряженные. Для первого корня имеем и, значит, – решение данной системы.

Аналогично для второго корня частное решение равно . Выделив из обоих частных решений вещественные части, получаем общее решение системы

 

Пример

Найти общее решение системы

(П.2)

Решение

Характеристическое уравнение , или имеет корни

Найдем частное решение вида соответствующее корню . Из системы имеем . Искомым частным решением являются функции .

Теперь найдем два частных решения, соответствующих кратному корню .

Согласно (8.7.15), ему отвечает решение вида

(П.3)

Коэффициенты определяются подстановкой (П.3) в систему (П.2). Выбрав в качестве произвольных коэффициенты , найдем . Решения (П.3) принимают вид .

Полагая сначала , а затем , находим два частных решения, соответствующих кратному корню :

И, наконец, общим решением данной системы являются функции

.

 

Упражнения

Проинтегрировать следующие уравнения различных типов:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Проинтегрировать следующие системы.уравнений:

11.		12.
13.		14.

 

 

Глава 9. Ряды

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение: Рассмотрим числовую последовательность . Образуем из элементов этой последовательности выражение вида

,

(9.1.1)

которое называется числовым рядом, или просто рядом. Слагаемые в формуле (9.1.1) называются членами ряда. Суммы первых n членов ряда называются частичными суммами ряда:

, , …,

(9.1.2)

Поскольку число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют числовую последовательность :

.

(9.1.3)

Ряд (9.1.1) называется сходящимся, если существует предел S последовательности частичных сумм (9.1.3); в таком случае число S называется суммой ряда:

(9.1.4)

Если же последовательность частичных сумм (9.1.3) не имеет предела, числовой ряд (9.1.1) называется расходящимся.

Рассмотрим примеры числовых рядов.

1. Дан ряд . Последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела, т.е. ряд расходится.

2. Дан ряд составленный из элементов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : .

Частичная сумма этого ряда выражается формулой .

1. При | q |< 1 пределом является число , которое также будет и суммой данного ряда.

2. При | q |> 1 предел и ряд расходится.

3. Если же | q |= 1, то данный ряд также расходится.