С абсолютными величинами чисел в математическим анализе приходиться часто встречаться Мы Напомним относящееся сюда определения и теоремы и сделаем ряд упражнений.
1. Абсолютная величина 
обозначается символом 
.
Пусть 
—действительное число. Если оно положительно или равно нулю 
, то его абсолютной величиной называется оно само, а если оно отрицательно 
, то его абсолютной величиной называется число 
.
Итак, если 
, то 
; если 
, то 
.
Чтобы перейти к абсолютной величине числа, имеющего в цифровой записи знак минус, надо этот знак отбросить.
Если 
, то 
; если 
, то 
.
Если 
, то 
.
2. Если 
, то это означает, что 
удовлетворяет неравенствам (фиг.1.5);
| Фиг.1.5 |
|
|
|
|
|
Пример1. Если 
, то имеют место неравенства 
.
Пример 2. Если 
, то 
удовлетворяет неравенствам 
(фиг.1.6)
|
|
| Фиг.1.6 |
|
|
Задача1.1
Определить числовую величину выражения 
при 
.
Решение. При 
Задача1.2
Определить числовую величину выражения 
при 
.
Решение. При 
имеем
Задача1.3
(для самостоятельного решения).Определить при 
числовую величину выражения 
.
Ответ. 
Задача1.4
(для самостоятельного решения).Найти числовую величину выражения 
при:
1) ;
2) 
;
3) 
.
Ответ
1) 5;
2) 3;
3) 8.
Задача1.5
Определить, при каких значениях 
будет справедливо неравенство 
.
Решение. Согласно формуле (1.1) данное неравенство может быть записано так: 
. К каждой части этих неравенств прибавим по 3 и получим 
, откуда следует, что 
.
Заключение: неравенство 
выполняется для всех значений 
из интервала (1,5).
Задача1.6
Определить, при каких значениях 
выполняется неравенство 
.
Решение. Поступая так де, как и предыдущей задаче, получаем, что 
, а отсюда, прибавляя 
к каждой части этих неравенств, имеем 
.
Заключение: неравенство 
выполняется для всех значений 
из интервала 
.
Задача1.7
(для самостоятельного решения).Определить, при каких 
выполняется неравенства:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
;
3) 
и 
.
Указание к третьему примеру: из того, что 
, следует, что 
и 
. В нашем случае из того, что 
, заключаем, что 
и 
; отсюда и следует указанный ответ.
Задача1.8
При каких значениях 
корень 
будет иметь действительное значения?
Решение. Корень 
будет иметь действительное значение, если подкоренное выражение не является отрицательным, т. е. когда 
, а 
.
Многие совершают грубую ошибку, делая на основании неравенства 
заключение, что 
, т.е. 
и 
. В действительности же верно только то, что 
, а неравенство является в данном случае ошибочным. Правильным решением неравенства 
являются 
и , т.е. 
, или 
, ибо для всех значений 
из интервала 
выполняется неравенство 
. Если же принять, что 
, то числа, удовлетворяющие этому неравенству, будучи возведены в квадрат, дадут числа больше, чем 9 (например, 
и 
).
Итак, решением неравенства 
является 
, или 
.
Задача1.9
(для самостоятельного решения). При каких значениях 
корень 
будет иметь действительное значение?
Ответ. 
и 
, т.е. 
имеет действительные значения для значений 
, удовлетворяющих неравенствам 
и 
.
