Основные сведенья из теории
Интервал, отрезок, промежуток
1. Если 
и 
—действительные числа и 
меньше 
, то совокупность всех действительных чисел 
, подчиняющихся условию 
, образует интервал. Левым концом интервала является число 
, а первым его концом – число 
. Обозначается интервал 
.
С геометрической точки зрения интервал представляет собой совокупность всех точек прямой, находящихся между точками 
и 
в интервал не включается.
На фиг.1,1 представлен интервал. Стрелки показывают, что точки и не принадлежат интервалу 
.
Фиг 1.1
2. Если к интервалу 
присоединить числа 
и 
, то получим отрезок 
, который обозначается символом 
. Таким образом, под отрезком понимаетсясовокупность всех действительных чисел 
, подчиняющихся условию 
.
Геометрически отрезок есть отрезок прямой с концами на точках и .
Различие между интервалом и отрезком состоит в том, что в случае интервала числа и ему не принадлежит, а в случае числа и ему принадлежат
На фиг 1.2 представлен отрезок
| Фиг.1.2 |
3. Под символом 
следует понимать совокупность всех действительных чисел 
, подчиняющихся условию 
, т.е. рассматривается все действительные числа, содержащееся между числами 
и 
, причем число 
рассматривается, а число 
—нет(фиг.1.3)
Под символом же 
понимается совокупность всех действительных чисел 
, подчиняющихся условию 
, т.е.
| Фиг.1.3 |
|
|
|
|
|
Рассматриваются все действительные числа, содержащиеся между числами 
и 
, причем число 
не рассматриваются, а число 
рассматриваются (фиг. 1.4).
| Фиг.1.4 |
|
|
|
|
Каждая из совокупностей чисел и Называется полуотрезком[1]
4. В том случае, когда безразлично, принадлежат или граничные точки 
и 
рассматриваемым совокупностями или нет, вместо терминов «интервал» и «отрезок» употребляется термин «промежуток».
Пример 1. Интервал (5,9) есть совокупность всех действительных чисел 
, удовлетворяющих условию 
.
Пример 2. Отрезок 
есть совокупность всех действительных чисел 
, удовлетворяющих условию 
.
Пример 3. Совокупность всех действительных чисел 
, для которых 
, есть промежуток 
.
Пример 4. Совокупность всех действительных чисел 
, подчиняющихся условию 
, есть промежуток 
.
3. Если рассматривается совокупность всех действительных чисел, то это записывается так: 
или 
.
Под записью 
, или 
следует понимать, что рассматривается совокупность всех действительных чисел 
, больших, чем 
, а если под записью 
, или 
, понимается совокупность всех действительных чисел 
, не меньших 
(когда мы говорим «число не меньше числа 
», то это значит, что это число или больше или равно 
).
Запись 
или 
означает, что рассматриваются все действительные числа 
, меньше числа 
, а запись 
или 
следует понимать так, что рассматривается совокупность всех действительных чисел 
, не больших числа 
(когда говорят, что число не меньше числа 
, то это значит, что это число или меньше или равно 
). Интервалы, рассмотренные в этом пункте, называются бесконечными.
