| m |
| b |
| m г |
| Рисунок 2.1. Экспериментальная установка |
| T2 |
| T1 |
| G |
| Столик |
| Катушка |
| Подпятник |
| Блок |
| Образец |
| Линейка |
| 2 R к |
| A |
| O |
| X |
| a |
| a г |
Схема экспериментальной установки показана на рисунке 2.1.
Установка состоит из следующих элементов.
· Столик в виде диска с вертикальной ножкой. Ножка столика укреплена в опорном подшипнике (подпятнике), в котором она может свободно вращаться вокруг вертикальной оси.
· На столик в нужном для экспериментатора месте кладётся и закрепляется исследуемый образец. В данной лабораторной работе образец имеет форму цилиндра. На образце написана его масса m. Для закрепления образца к нему внизу вдоль его оси прикреплён винт, а по всей площади столика просверлены отверстия с резьбой, куда можно вставлять и прикручивать винт образца. Одно из отверстий просверлено вдоль оси столика. Это, во-первых, позволяет измерять расстояние между главной осью образца и осью вращения столика, а во-вторых, позволяет, в частности, вращать образец вокруг его главной оси.
· Для того чтобы привести столик во вращение, на его ножку одета и закреплена катушка, на которой намотан шнур. Этот шнур с другой стороны переброшен через блок, и к концу шнура прикреплён груз массой m г. Под действием силы тяжести груз опускается и натягивает шнур. Шнур раскручивает катушку, в результате крутится и столик.
· Для измерения углового ускорения столика надо измерять путь, который проходит опускающийся груз за определённое время. Этот путь можно измерить с помощью вертикально установленной линейки.
Методика эксперимента
Главной задачей лабораторной работы является проверка теоремы Штейнера, которая выражается уравнением (1.4)
.
Рассмотрим, как можно измерить величины, входящие в это уравнение.
3.1. Расстояние b между осями O и A можно измерить прямым способом – линейкой. Массу образца m измерять не надо – она уже измерена изготовителем и написана на образце.
Для измерения момента инерции образца предлагается измерять его угловое ускорение e, а затем использовать уравнение моментов (1.5).
3.2. Измерение углового ускорения e. Образец вращается вместе со столиком, так что угловое ускорение образца – это угловое ускорение системы столик-катушка-образец. Угловое ускорение катушки связано с тангенциальным ускорением точек на вращающейся поверхности катушки at соотношением
, (3.1)
где R к – радиус катушки. Считая шнур нерастяжимым, можно утверждать, что точки размотанной части шнура движутся с той же скоростью, что и точки намотанной части. Поэтому у них одно и то же тангенциальное ускорение. Точки размотанной части шнура движутся прямолинейно, поэтому их тангенциальное ускорение at равно полному ускорению a, так что
. (3.2)
Ускорение a, с которым движутся точки размотанной части шнура, равно ускорению груза, поэтому формулу (3.2) можно понимать как формулу, связывающую угловое ускорение образца e и линейное ускорение груза a.
3.3. Измерение ускорения груза a. Будем считать, что груз движется равноускоренно, то есть значение его ускорения a в процессе движения не изменяется. Тогда от начала движения груз за время t опустится на расстояние 
, поэтому, измерив линейкой расстояние h, можно узнать ускорение груза по формуле
. (3.3)
3.4. Измерение момента силы натяжения шнура. В уравнение моментов (1.5) входит сумма проекций моментов сил, приводящих тело во вращательное движение. В экспериментальной установке вращение создаётся единственной силой: это – сила натяжения шнура T 2, действующая на катушку. Момент этой силы M т направлен вдоль оси вращения катушки, поэтому проекция момента на ось вращения равна его модулю M т. По определению, модуль момента силы равен произведению силы на плечо силы[27]. Плечом силы T 2 является радиус катушки R к, поэтому
. (3.4)
Радиус катушки можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. Как измерить силу натяжения шнура, написано в следующем пункте.
3.5. Измерение силы натяжения шнура. Сила натяжения шнура в его горизонтальной части T 2 меньше, чем сила натяжения в вертикальной части T 1, однако разница между ними тем меньше, чем легче блок и чем меньше его момент инерции I Б. При условии, что 
, где R Б – радиус блока, можно пренебречь разницей между T 2 и T 1 и считать, что
. (3.5)
Данное условие в данной экспериментальной установке выполняется. Поэтому для нахождения силы натяжения можно рассматривать вертикальный участок шнура и прикреплённый к нему груз. Движение определяется вторым законом Ньютона:
, (3.6)
где G – сила тяжести, действующая на груз. Перейдём от векторов к числам. Для этого запишем уравнение (3.6) в проекциях на вертикальную ось OX.
, (3.6)
откуда следует, что
. (3.7)
Масса груза измерена изготовителем и написана на грузе, а как измерить ускорение a, описано в пункте 3.3.
3.6. Измерение момента инерции. Как указывалось выше, для нахождения момента инерции образца можно использовать уравнение моментов (1.5). Удобно, однако, применить это уравнение не к образцу, а к системе столик-катушка-образец. В этом случае сумма проекций моментов сил равна моменту силы натяжения шнура M т, а знаменатель уравнения – это полный момент инерции системы I п, равный сумме момента инерции образца I и момента инерции столика с катушкой I с. Таким образом,
, (3.8)
откуда следует:
. (3.9)
Как измерить угловое ускорение e и момент силы натяжения M т, описано в пунктах 3.2 и 3.4. Измерить момент инерции столика с катушкой I с можно, если снять со столика образец. В этом случае
. (3.10)
Подстановка в (3.9) и (3.10) формул (3.4), (3.7), (3.2) и (3.3) даёт следующие две формулы, определяющие способ измерения момента инерции столика с катушкой и момента инерции образца:
, (3.11)
. (3.12)
3.7. Измерение главного момента инерции образца I 0. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно установить образец в центре столика – тогда измерение момента инерции образца как раз и даст значение I 0. Второй способ основан на том, что образец имеет цилиндрическую форму. При этом, согласно таблице 1.1,
. (3.13)
Как указано выше, масса образца m на нём написана, радиус образца R можно измерить штангенциркулем. Целесообразно измерить главный момент инерции образца I 0 как первым, так и вторым способами. Если результаты измерений совпадут, то это будет свидетельствовать о том, что метод измерения момента инерции, используемый для проверки теоремы Штейнера, является правильным.
3.8. Проверка теоремы Штейнера. Теорема утверждает, что момент инерции образца I и расстояние между осями b связаны квадратичной зависимостью. Убедиться, что это так, можно методом линеаризации. Для этого введём вспомогательную величину 
. Тогда из (1.4) следует:
. (3.12)
Зависимость I (z) – линейная, и графиком этой зависимости является прямая линия. Поэтому надо провести серию измерений момента инерции образца при различных значениях b, а затем на основании полученных результатов построить график зависимости I (z). Если экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет подтверждением теоремы Штейнера.
Порядок выполнения работы
4.1. Получите у лаборанта образец, штангенциркуль и линейку.
4.2. На образце и на грузе написаны их массы. Запишите эти числа в таблицу 4.1.
4.3. Измерьте штангенциркулем радиусы образца и катушки. Результаты запишите в таблицу 4.1.
4.4. Используя формулу (3.11), измерьте главный момент инерции образца I 0. Результаты запишите в таблицу 4.1. Туда же запишите погрешность измерения D(I 0). Как оценить эту погрешность, написано в пункте 5.
Таблица 4.1. Параметры экспериментальной установки
| m | m г | R | R к | I 0 | D(I 0) |
| кг | кг | мм | мм | кг×м2 | кг×м2 |
4.5. Измерьте момент инерции столика с катушкой I с. Для этого проделайте следующие действия. Образец на столик не устанавливайте!
· Поднимите груз, замерьте по линейке высоту h, на которую вы его подняли. Отсчёт высоты следует делать по нижней точке груза. Результат измерения запишите в таблицу 4.2.
· Плавно, без толчка отпустите груз. Одновременно включите секундомер.
· В момент падения груза на пол выключите секундомер и запишите время падения груза t в таблицу 4.2.
· Заполните таблицу 4.2. Для определения момента инерции столика с катушкой I с используйте формулу (3.11). Как оценить погрешность D(I с), написано в пункте 5.
Таблица 4.2. Измерение момента инерции столика с катушкой I с
| h | t | I с | D(I с) |
| см | с | кг×м2 | кг×м2 |
4.6. Измерьте момент инерции образца при различных расстояниях b между главной осью образца O и осью вращения A. Для этого проделайте 7 раз следующие действия.
· Определите, в каком месте столика вы желаете установить образец и измерьте линейкой расстояние b между осью вращения столика и тем отверстием, в которое вы собираетесь вкрутить винт образца. Результат измерения запишите в таблицу 4.3. Установите образец на столик в намеченном месте и закрепите его. В одном из опытов серии образец надо установить в центре столика – в этом случае
b = 0.
· Поднимите груз, замерьте по линейке высоту h, на которую вы его подняли. Отсчёт высоты следует делать по нижней точке груза. Результат измерения запишите в таблицу 4.3.
· Плавно, без толчка отпустите груз. Одновременно включите секундомер.
· В момент падения груза на пол выключите секундомер и запишите время падения груза t в таблицу 4.3.
· Заполните таблицу 4.3. Для определения момента инерции образца I используйте формулу (3.12). Как оценить погрешности D(z) и D(I), написано в пункте 5.
Таблица 4.3. Зависимость момента инерции образца I
от расстояния между осями b
| № опыта | b |
| h | t | I | D(z) | D(I) |
| см | см2 | см | с | кг×м2 | см2 | кг×м2 | |
4.7. На основании данных таблицы 4.3 постройте график экспериментальной зависимости I (z).
· Выделите для графика не менее половины страницы.
· 
Выберите подходящий масштаб, имея в виду, что по горизонтальной оси (оси абсцисс) надо откладывать значения z, а по вертикальной оси (оси ординат) – значения I.
· Нанесите на график экспериментальные точки в виде не закрашенных кружочков диаметром примерно 2 мм.
· Нанесите на график планки погрешностей. Это значит, что надо от каждой экспериментальной точки отложить влево и вправо отрезок длиной D(z), а затем отложить вверх и вниз отрезок длиной D(I).
· Проведите по линейке экспериментальную прямую – так, чтобы она пересекла планки погрешностей всех экспериментальных точек и при этом прошла наиболее близко ко всем точкам. Образец показан на рисунке 4.1.
4.8. Сравните результаты измерения главного момента инерции образца I 0, приведённые в таблице 4.1 и в таблице 4.3.
4.9. Сформулируйте выводы.
