Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

 

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

,

(33)

где a - математическое ожидание случайной величины; -среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) приведёт на рис.8.

Рис. 8

Свойства нормальной кривой:

1. Кривая симметрична относительно прямой x = a;

2. Нормальная кривая расположена над осью x, т. е. при всех значениях x функция f (x) всегда положительна;

3. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

.

4. При x = a функция f(x) имеет максимум равный .

В точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны: .

При этом вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826.

В точках E и G, при и значение функции f (x) равно , а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.

Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D при и очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f (x) очень мало и равно , а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется «правило трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси Оx: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a= 0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси Оx и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси Оx и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях a и площадь ограниченная нормальной кривой и осью Оx, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси Оx нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами a и , т. е. описываемое дифференциальной функцией (33) называется общим нормальным распределением.

Нормальное распределение с параметрами a =0 и называется нормированным распределением (нормированная кривая) (рис. 9). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

 

Рис. 9

 

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

.

(34)

Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:

,

(35)

 

где .

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

.

(36)

 

Разбор типовых задач

Задача 1

Случайная величина X распределена но нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины соответственно равны 2 и 5. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (1;5).

Решение.

Вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение, примет одно из своихвозможных значений в интервале (α;β), вычисляется по формуле

.

 

Здесь a=М(X), , – функция Лапласа.

По условию задачи α =1, β =5, a =2, σ=5. Следовательно,

.

Так как функция Лапласа нечетна, то Ф(-0,2)= -Ф(0,2).

Таким образом, P (1<Х<5)=Ф(0,6)+ Ф(0,2).

По табл. 2 приложения находим Ф (0,6) =0,2257, Ф (0,2) =0,0793.

Искомая вероятность равна Р(1<Х<5)=0,2257+0,0793=0,305.

Ответ: 0,305.

Задача 2

Функция распределения случайной величины Х задана выражением

 

1. Найти коэффициент α.

2. Найти вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4).

3. Построить график функции.

Решение.

1. При х =3π/4 функция F (x) равна 1, т.е. α∙sin(3π/4–π/4)+1/2=1, или α∙sin(π/2) + 1/2 = 1.

Откуда α = 1/2.

2. Подставляя а =π/4 и b =3π/4 в равенство , получаем

P (π/4< X <3π/4) = F (3π/4) - F (π/4) = 1/2×sin(π/2)+1/2–1/2×sin(0)–1/2 = 1/2.

3. График функции у =1/2∙sin(х -π/4)+1/2 отличается от графика функции у = sin х тем, что он «сжат» по оси Оу в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) на рисунке 10.

Рис. 10

Задача 3

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее , . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (30;36).

Решение.

Воспользуемся формулой

,

(37)

где .

Получим:

Ответ: 0,1586

Задача 4

Случайные значения веса зерна распределены нормально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,15 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,03. Найти вероятность того, что вес наугад взятого зерна отклонится от математического ожидания не более, чем на 0,06г.

Решение.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, имеющей нормальное распределение, от ее математического ожидания a по абсолютной величине, не будет превосходить заданного положительного числа e, определяется по формуле

,

(38)

По условию задачи a =0,15; σ = 0,03; e =0,06.

Следовательно,

.

По табл. 2 приложения находим Ф(2)=0,4772. Искомая вероятность равна

.

Ответ: 0,9544.

Задача 5

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р = 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях п раз. Сколько раз надо провести этот опыт, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события А от вероятности р = 0,6 не более, чем 0,05?

Решение.

Поскольку условия опыта неизменны, то применяется схема независимых испытаний Бернулли.

Используется формула:

В этой формуле:

e = 0,05 – заданная величина отклонения относительной частоты от вероятности.

p = 0,6 – вероятность появления события А в одном опыте.

q = 1 – p = 0,4 – вероятность непоявления события А в одном опыте.

P ₁ = 0,9 – граница заданной вероятности появления А в п опытах.

аргумент функции Лапласа для значения .

Получаем:

Ответ: для выполнения условий задачи опыт требуется выполнить 258 раз.

Задача 6

У яровой пшеницы сорта Саратовская длина главного колоса в сантиметрах представляет собой случайную величину Х, подчиняющуюся закону распределения, который характеризуется дифференциальной функцией распределения

.

Найти интервал, в который попадут практически все возможные значения длины главного колоса пшеницы этого сорта.

Решение.

Случайная величина Х – длина главного колоса пшеницы сорта Саратовская распределена по нормальному закону с параметрами: a =6,6 см и σ=1,2 см. Согласно правилу трех сигм получим, что практически все возможные значения Х будут находиться в интервале(6,6 3,6) см, т.е. главный колос пшеницы может иметь длину от 3 до 10,2 см.

Ответ: от 3 до 10,2см.

Задача 7

Задана функция распределения F (x) непрерывной случайной величины Х.

1. Найти плотность распределения вероятностей f (x).

2, Определить коэффициент А.

3. Схематично построить графики F (x) и f (x).

4. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b)

,

если , .

Решение.

1. Используем свойство . Получаем:

2. Используем свойство

 

3. Графики функции распределения и плотности распределения имеют вид, приведенный на рис. 11.

 

4. Математическое ожидание:

.

Дисперсия: :

,

.

5. Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0, 3)

.

Ответ: 0,4219.

Рис. 11

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая величина называется случайной? Что называется дискретной и непрерывной случайной величиной? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной величины?

3. Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

4. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины.

5. Перечислите основные свойства математического ожидания.

6. Какое свойство случайной величины характеризует математическое ожидание?

7. Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины. Какое свойство случайной величины характеризуют они? Перечислите свойства дисперсии.

8. Дайте определение интегральной функции распределения. Перечислите ее свойства.

9. Дайте определение дифференциальной функции распределения. Перечислите ее свойства.

10. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины? Как оно вычисляется?

11. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины и как она вычисляется?

12. Какое распределение случайной величины называется нормальным? Какие параметры характеризуют нормальное распределение?

13. Начертите кривую нормального распределения. Как меняется кривая при изменении математического ожидания и среднего квадратического отклонения?

14. Как вычисляется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

15. Напишите формулу для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания.

16. Сформулируйте правило трех сигм.