ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Методические указания и контрольные задания
Для самостоятельной работы
Москва 2015
УДК 519.2 (07)
Кишкинова, О.А. Кутликова И.В., Гордеева Ю.Л. Теория вероятностей: учеб.-метод. указ. / О.А. Кишкинова, И.В. Кутликова, Ю.Л. Гордеева – М.: ФГБОУ ВПО МГАВМиБ им. К.И. Скрябина, 2015. – 45 с.
В методических указаниях приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, приведены задачи для самостоятельного решения контрольной работы и самостоятельного изучения материала, вопросы для самоподготовки по разделу математики «Элементы теории вероятностей».
Рекомендовано для студентов, обучающихся по направлениям: 06.03.01 «Биология», 19.03.01 «Биотехнология», 19.03.03 «Продукты питания животного происхождения», 19.03.02 «Продукты питания из растительного сырья», 38.03.07 «Товароведение» (очная и заочная форма обучения).
Рецензенты: доцент кафедры Информационных технологий, математики и физики ФГБОУ ВПО МГАВМиБ им. К.И. Скрябина А.А. Олешкевич, профессор кафедры Радиобиологии и вирусологии им. академиков А.Д.Белова и В.Н. Сюрина ФГБОУ ВПО МГАВМиБ им. К.И. Скрябина Е.И. Ярыгина.
Утверждено на заседании учебно-методической комиссии ветеринарно–биологического факультета ФГБОУ ВПО МГАВМиБ (протокол № 7 от 20 января 2015 г).
Введение
Целью данных методических указаний является помощь студентам, изучающим теорию вероятностей, в усвоении необходимых теоретических знаний и приобретении практических навыков для решения задач.
Раздел «Элементы теории вероятностей» является одним из фундаментальных разделов математики, изучение которого способствует формированию общекультурных и профессиональных компетенций выпускника (бакалавра) в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к уровню подготовленности по направлениям 06.03.01 «Биология», 19.03.01 «Биотехнология», 19.03.03 «Продукты питания животного происхождения», 19.03.02 «Продукты питания из растительного сырья», 38.03.07 «Товароведение».
Знания, полученные при изучении раздела «Элементы теории вероятностей» являются основой для освоения раздела «Элементы математической статистики».
В настоящих методических рекомендациях представлен материал по основным направлениям теории вероятностей: вероятность случайного события, формула вероятности события, теоремы сложения и умножения вероятностей, условная вероятность, формула полной вероятности, формула Бернулли, формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Лапласа, числовые характеристики случайных величин, законы распределения случайных величин. По каждой теме приведены типовые задачи с решениями. По каждому разделу приведены вопросы для самопроверки.
Для закрепления теоретических знаний и практических навыков в методических указаниях приведены задачи для самостоятельного решения и варианты контрольной работы по разделу «Элементы теории вероятностей».
Вероятность случайного события
Случайные события
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
События называют равновозможными, если есть основание считать, что не одно из них ни является более возможным, чем другое.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата:
 ,
| (1) |
где n – общее число элементарных исходов (результатов испытания), m – число исходов, благоприятных случайному событию.
Вероятность невозможного события равна нулю, достоверного — единице (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1 - в зависимости от того, насколько это событие случайно.
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Для решения задач применяются формулы комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле: Pn = n!
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком: 
.
Сочетанием называются наборы (соединения), составленные из этих элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним из элементов (
).
Число всех возможных сочетаний обозначается 
и вычисляется согласно формулам:
 или  ,
| (2) |
где 
; 
; 
.
В частности, 
, кроме того, 
.
Эта формула полезна в случае использования формулы (2), когда 
.
Разбор типовых задач
Задача 1
В конверте 9 фотокарточек. Среди них 5 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди них только 2 нужные.
Решение.
Введем в рассмотрение событие А – среди 4 извлеченных карточек только две нужные.
Вероятность этого события вычисляется по формуле вероятности 
.
Для решения составим таблицу:
| Всего фотокарточек | Нужные | Ненужные | |
| Было | |||
| Извлечено |
В данном задании число всех возможных исходов «п» равно числу способов извлечь из 9 карточек 4, т.е. 
.
Число способов извлечь из 5-ти нужных только две нужные есть 
.
Число способов извлечь из четырех ненужных (9-5) только 2 ненужных (4-2) есть 
.
Тогда число благоприятствующих исходов есть произведение 
.
Подставляем 
и 
в (1):
.
Ответ: 
.
Задача 2
В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?
Решение.
Введем в рассмотрение событие А – все 4 извлеченные купюры фальшивые. Вероятность этого события вычислим по формуле (4) из задания №1. Предварительно составим таблицу данных:
| Всего купюр | Фальшивые | Нефальшивые | |
| Было | |||
| Извлечено |
Тогда согласно правилу из задания 1
.
Ответ: 
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
 .
| (4) |
Следствие 1: Если события 
образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
 .
| (5) |
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
 .
| (6) |
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
 .
| (7) |
Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события:
 .
| (8) |
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:
 .
| (9) |
Также можно записать:
.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.
Если события независимые, то 
, и теорема умножения вероятностей принимает вид:
 .
| (10) |
Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна
 .
| (11) |
Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий 
.
