Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности .

(27)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a,b ] – это определенный интеграл

(28)

Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе.

2. .

3. .

4. .

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е. .

Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:

Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:

т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

(29)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой

(30)

т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины:

(31)

В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).

Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0.

2. D (CX) = С²D (X).

3. D (X+Y) = D (X) + D (Y).

4. D (C+X) = D (X).

5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).

Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [ a,b ], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

(32)

Разбор типовых задач

Задача 1

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

Х
P	0,25	0,5	0,1	0,15

Решение.

Вначале полезно проверить условие : 0,25 + 0,5 + 0,1 + 0,15 = 1, условие выполняется.

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

, где .

В данном задании

;

При нахождении считается, что квадраты значений величины Х принимаются с теми же вероятностями, что и значения Х, т.е. закон распределения случайной вероятности таков: