Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка 
называется квадратная таблица из чисел 
(
, 
): 
, состоящая из 
строк и столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ: 
и побочную диагональ: 
. Любой квадратной матрице 
порядка можно поставить в соответствие число 
, равное алгебраической сумме 
слагаемых, составленных определённым образом из элементов 
матрицы 
,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается 
, 
.
Определителем 1-ого порядка называется число 
.
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число 
.
Минором элемента называется определитель 
, полученный из определителя 
вычёркиванием 
-ой строки и 
-ого столбца.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется его минор , взятый со знаком 
:
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по -ой строке () называется соотношение: 
.
Разложением определителя 
по 
-ому столбцу () называется соотношение: 
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: 
.
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица из чисел (
, ): 
, состоящая из 
строк и столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут 
.
Если 
, то матрица называется квадратной.
Нулевой называется матрица 
, все элементы которой равны нулю, например: 
. Единичной называется квадратная матрица 
, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: 
. Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: 
. Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица 
, все элементы которой, расположенные ниже элементов 
равны нулю, например: 
.
Матрицы и 
называются равными и пишут 
, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: 
, , .
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица 
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы 
.
Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица 
того же размера, для которой:
, , .
Произведением матрицы размера на число 
называется матрица 
того же размера, для которой: 
, , .
Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица 
того же размера (
и 
- произвольные числа), для которой: 
, , ,
Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
, каждый элемент которой 
вычисляется по правилу:
, 
, 
.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): 
. Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: 
, т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут 
.
Обратной к квадратной матрице порядка 
, называется матрица 
того же порядка, если: 
, где 
- единичная матрица порядка .
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель 
. Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то 
, где 
- присоединённая матрица, для которой: 
. Здесь 
- алгебраические дополнения элементов 
матрицы 
.
В частности, если 
, то 
Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы порядка строится прямоугольная матрица 
размера 
приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду 
, что всегда возможно, если - невырожденная.
Матричными называются уравнения вида: 
, 
, 
,
где матрицы 
- известны, матрица 
- неизвестна. Если квадратные матрицы и - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: 
, 
, 
.
Минором 
-ого порядка матрицы размера называется определитель 
квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её 
строк и столбцов 
. Максимальный порядок 
отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается 
или 
, а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
…Система уравнений вида: 
называется системой 
линейных уравнений с неизвестными. Числа называются коэффициентами системы, 
- свободными членами системы, 
- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: 
, где 
, 
, 
.Здесь -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, -матрица-столбец свободных членов.
Если 
, то система называется однородной, в противном случае неоднородной.
Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами , называется треугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называется трапециевидной.
Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел 
, обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение 
. Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых 
в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида: 
.
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы системы 
, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам: 
, , где 
- определитель, получаемый из определителя матрицы системы 
заменой 
-ого столбца на столбец свободных членов;
б ) методом обратной матрицы по формуле 
.
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы 
, которую получают, приписывая справа к матрице системы столбец свободных членов . В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы должна быть приведена к матрице 
треугольного или трапециевидного вида с элементами 
. При этом, система уравнений, матрица которой 
, является треугольной с диагональными элементами 
, будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами 
, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы 
, в преобразованной матрице 
появится строка 
, где 
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы . Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов 
при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.
В результате обратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения: 
, 
,…, 
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.
