Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей:

.

Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы этой кривой.

Пусть и – собственные значения матрицы , а и – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и .

Ортонормированные векторы и называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование:

приводит квадратичную форму к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало , получим канонический вид уравнения в системе координат . В зависимости от чисел эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

31ВОПРОС Комплексные числа и действия над ними. Сопряжённые числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера.

Пара а,b действительных чисел а и b называются упорядоченной, если указано какое из них первое, какое второе. Комплексное число –это упорядоченная пара.

равны, если а=с и b=d. сумма: , умножение: отсюда

Сложение: чтобы сложить два компл. числа надо отдельно сложить их действительные и мнимые части. z=x+iy (x,y- действительные переменные i-мнимая единица). (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

Вычитание: необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

Произведение: (a+bi) (c+di)=(aс-bd)+(bc+ad)i;

Деление: a+bi/c+di = ac+bd/c² +d²+bc-ad/c²+d² i

Возведение в степень - формула бинома Ньютона Если дано , то число а-bi, отличающееся от только знаком при мнимой части называют сопряжённым числу и обозначают .

Сумма и произведение двух комплексно-сопряжённых чисел - действительные числа:

Упорядоченную пару i=(0,1), где i²=-1 называют мнимой единицей, с её помощью можно выразить упоряд. пару: bi=(b,0)(0,1)=(0,b)то(a,b)=(a,0)+(0,b)= =a+bi т.е. (a,b)=a+bi – алгебраическая форма.

, поскольку а=r cos то r - триганометрическая форма

Формула Эйлера: ввёл в обозначение I для мнимой единицы (i= )

Формула Муавра: если n –натуральное число и z=r(cos +I sin ),то zⁿ=r(cos +I sin ))ⁿ = rⁿ(cosn +isin n ).

32ВОПРОС Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Основная теорема алгебры:
всякий многочлен n -й степени с комплексными коэффициентами в множестве комплексных чисел имеет ровно n корней, если каждый кратный корень считать такое число раз, какова его кратность.
Основная теорема алгебры справедлива и при n =0, так как многочлен нулевой степени корней не имеет. Основная теорема алгебры неприменима лишь к нулевому многочлену (числу нуль), степень которого не определена.