Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
Где Коэффициенты aii называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее.
Будем считать, что элемент 
(если a11=0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на 
и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на 
и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь 
— новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом 
, исключим неизвестное х2из всех уравнений системы, кроме первого я второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают Если же появится уравнение вида 
то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений, В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное xkчерез остальные неизвестные (xk+1,…,xn). Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем xk-1 через (xk+1,…,xn)., затем находим xk-2,…,x1.. Придавая свободным неизвестным (xk+1,…,xn). произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания:
1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn из предпоследнего уравнения xn-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (xn-1,...,x1).
2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11¹1).
Пример 4.4.
Решить систему методом Гаусса:
Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицейсистемы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: x2=5x4-13x3-3;x1=5x4-8x3-1 Если положить, например, x3=0,x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1,x2=-3,x3=0,x4=0.
