Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2,..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1),..., A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2,..., en.
Матрица
столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно - каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1,..., en} к базису e' = {e'1,..., e'n}. Связь между матрицей Ae оператора A в базисе e и матрицей Ae' этого оператора в базисе e' задается формулой
Здесь 
- матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. 
АВ) = (
А)В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:1. 
А = А; 0А = О; (–1)А= –А. 2. 
β А) 
А.3. 
А = 
А + β А. 4. (А + В) = 
А + 
В.
28ВОПРОС Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.
Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору х 
R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор А х R.
Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:
А( х + у)= А х + А у, А(λ х) = λ А х. (9.1)
Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.
Тождественное преобразование обозначается Е: Е х = х.
Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е1, е2, е3, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы А е1, А е2, А е3, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:
А е1 = а11 е1 + а21 е2 +а31 е3,
А е2 = а12 е1 + а22 е2 + а32 е3, (9.2)
А е3 = а13 е1 + а23 е2 + а33 е3.
Матрица 
называется матрицей линейного преобразования А в базисе е1, е2, е3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.
Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.
Для произвольного вектора х =х1 е1 + х2 е2 + х3 е3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор А х, который можно разложить по векторам того же базиса: А х =х`1 е1 + х`2 е2 + х`3 е3, где координаты x`i можно найти по формулам:
х`1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,
x`2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, (9.3)
x`3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.
Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.
