Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения необходимо:

1. Через прямую провестивспомогательную плоскость (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);

2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью;

3. Отметить точку пересечения заданной прямой с линией пересечения плоскостей.

Пример. Найти точку пересечения прямой EF c плоскостью α (Δ АВС) (рис.24)

 

Рис.24

Решение:

1. Через прямую EF проведем вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α;

2. Если α ⊥ П₁, то на плоскость проекций П₁ плоскость α проецируется в прямую α₁, совпадающую с E ₁ F ₁;

3. Найдём прямую пересечения 1-2 проецирующей плоскости α с плоскостью Δ АВС. Прямая 1-2 и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке К.

4. Определим видимость прямой EF. Для определения видимости на П₂ отметим точки 3и 4, у которых совпадают фронтальные проекции. Направление взгляда указано стрелкой. Горизонтальная проекция 4₁ находится ближе к наблюдателю, чем 3₁. Точка 4 принадлежит EF. Следовательно, Е₂К₂ видима, в точке К₂ видимость прямой меняется.

Для определения видимости на П₁ отметим точки 2 и 5, у которых совпадают горизонтальные проекции. Направление взгляда на П₁ показано стрелкой. Точка 2₂ находится выше, чем точка 5₂. Точка 2 принадлежит прямой АВ треугольника Δ АВС. Следовательно, прямая ЕF находится под плоскостью Δ АВС и на участке F₁K₁ невидима до точки К₁.

Поверхности.

Геометрическая форма отдельных предметов представляет собой сочетание простых геометрических тел, ограниченных гранными и кривыми поверхностями.

Из гранных поверхностей наиболее часто встречаются призматические и пирамидальные.

Большое распространение получили и кривые поверхности. Они входят в очертания многих деталей машиностроения и строительных конструкций.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений линии, движущейся в пространстве по определенному закону. Линия, формирующая своим движением поверхность, называется образующей. Образующая может быть прямой или кривой линией.

Неподвижные линии, по которым движется образующая, называются направляющими.

Гранные поверхности.

Гранные поверхности – поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии.

 

Рис.25

Пирамидальная поверхность (рис.25а) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом одна точка образующей – S неподвижна. Элементы пирамидальной поверхности: l – образующая, m - направляющая, S – вершина, ASB – грань, SA – ребро.

Призматическая поверхность (рис.25б) образована движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед заданному направлению. Элементы призматической поверхности аналогичны элементам пирамидальной поверхности (вершина S находится в бесконечности).

Геометрическое тело, ограниченное гранной поверхностью, называется многогранником. Плоскости таких поверхностей называются гранями, общие соприкасающиеся стороны смежных граней называются ребрами.

Точка принадлежит поверхности, если она располагается на линии принадлежащей этой поверхности. Для построения точки, лежащей на грани пирамиды в плоскости этой грани проводится прямая, обычно проходящая через вершину пирамиды. На рис.26 проведена прямая S1 и на ней отмечена точка М.

Рис.26 Рис.27

 

На рис.27 построена линия MNK, принадлежащая поверхности пирамиды.

Для построения точки, лежащей на грани наклонной призмы, в плоскости этой грани выбирается прямая, обычно параллельная ребрам призмы, и на ней строится точка. На рис.28 в плоскости грани ВС построена прямая, параллельная ребрам и на прямой -точка М.

Рис.28

 

Кривые поверхности.

В зависимости от вида образующих все кривые поверхности можно подразделить на два класса:

1. Поверхность, у которой образующей является прямая линия – линейчатая поверхность.

2. Поверхность, образующая которой кривая линия – нелинейчатая поверхность.

Из простейших линейчатых поверхностей мы рассмотрим цилиндрическую и коническую.