Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин)

Для того чтобы дискретные случайные величины Х₁,…,Х_n были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение.

Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х₁, Х₂,…,Х_n были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

.

Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х₁,…,Х_n, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х₁,…,Х_n

.

Предположим, что случайная величина. Вероятность, что

.

Пусть.

.

, где —функция Лапласа.

Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.

φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е.; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.

Системы случайных величин.

 

o Вектор, где —случайные величины, называются n- мерным случайным вектором.

Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IRⁿ в n-мерное действительное пространство IRⁿ.

o Функция

называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин.

Свойства функции распределения случайного вектора.

Свойство 1..

Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.

Пусть x₁<y₁, тогда событие.

Тогда. По свойству вероятности если, то, получим. Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.

Свойство 3..

=0

Свойство 4.

.

 

=.

o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.

o Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция, называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения.

Свойства плотности распределения случайного вектора.

Свойство 1.

Свойство 2..

.

Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем,.

Свойство 3., где —множество из пространства IRⁿ.

o Говорят, что случайный вектор имеет равномерное распределение в области, если она непрерывна и имеет плотность.

 

Если множество

.

o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.

 

Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью, а случайная величина, где —монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность.

а) Пусть функция возрастает. По определению

.

 

Продифференцируем обе части. Справа получим:, слева—, что и требовалось.

б) Пусть убывает.

 

.

 

Продифференцировав обе части,.

Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина

А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р	0,6	0,4

Найти распределение функции.

Решение. Найдем возможные значения Х:

,. Искомое распределение Y:

 

Y
P	0,6	0,4

Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х	-2
Р	0,4	0,5	0,1

 

Найти распределение функции.

,.

Вероятность возможного значения y₁=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х₁=-2, Х₂=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y₂=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.

Y
P	0,9	0,1

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения

Х	x1	x2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn
Y	φ(x)	φ(x)	…	φ(x)
P	p1	p2	…	pn

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание функции.

Возможные значения Y:

;;.

.

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой:.

Если возможны значения, то.

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции.

,,,; Следовательно,

.