Лекции.Орг
 

Категории:


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...


Агроценоз пшеничного поля: Рассмотрим агроценоз пшеничного поля. Его растительность составляют...


Архитектурное бюро: Доминантами формообразования служат здесь в равной мере как контекст...

Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин)



Для того чтобы дискретные случайные величины Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение .

Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1, Х2,…,Хn были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение

.

Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х1,…,Хn

.

Предположим, что случайная величина . Вероятность, что

.

Пусть .

.

, где —функция Лапласа.

Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.

φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е.; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.

Системы случайных величин.

 

o Вектор , где —случайные величины, называются n-мерным случайным вектором.

Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IRn в n-мерное действительное пространство IRn.

o Функция

называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .

Свойства функции распределения случайного вектора.

Свойство 1. .

Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.

Пусть x1<y1, тогда событие .

Тогда . По свойству вероятности если , то , получим . Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.

Свойство 3..

=0

Свойство 4.

.

 

=.

o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.

o Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения .

Свойства плотности распределения случайного вектора.

Свойство 1.

Свойство 2. .

.

Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем , .

Свойство 3., где —множество из пространства IRn.

o Говорят, что случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если она непрерывна и имеет плотность.

 

Если множество

.

o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.

 

Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью , а случайная величина , где —монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность .

а) Пусть функция возрастает. По определению

.

 

Продифференцируем обе части. Справа получим: , слева— , что и требовалось .

б) Пусть убывает.

 

.

 

Продифференцировав обе части, .

Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина

А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р 0,6 0,4

Найти распределение функции .

Решение. Найдем возможные значения Х:

, . Искомое распределение Y:

 

Y
P 0,6 0,4

Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х -2
Р 0,4 0,5 0,1

 

Найти распределение функции .

, .

Вероятность возможного значения y1=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х1=-2, Х2=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y2=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.

Y
P 0,9 0,1

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения

Х x1 x2 xn  
Р p1 p2 pn  
Y φ(x) φ(x) φ(x)
P p1 p2 pn
                 

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р 0,2 0,5 0,3

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

.

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

, , , ; Следовательно,

.

 





Дата добавления: 2016-10-06; просмотров: 313 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. III. Предоставление независимости Намибии
  2. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  3. ВопросСистемы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера
  4. ВОССТАНАВЛИВАЕМ ЧУВСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ
  5. Глава 21. Современные теории конфликта. вение цивилизаций»; теорема Томаса; «конфликты нового поколения»; понятие «гибкой силы»; теория асимметричного конфликта
  6. График случайных процессов изменения параметров с различной степенью перемешивания реализаций
  7. Дек. – заявление Совнаркома о признании независимости Финляндии
  8. Декларация независимости США от 4 июля 1776г
  9. Для дискретных случайных величин - биномиальное распределение и распределение
  10. Завоевание Индией независимости. Развитие Индии
  11. Занятие 6. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин
  12. Защита информации в КС от случайных угроз (непреднамеренных воздействий)


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.