Для того чтобы дискретные случайные величины Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение.
Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).
Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1, Х2,…,Хn были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение
.
Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х1,…,Хn
.
Предположим, что случайная величина. Вероятность, что
.
Пусть.
.
, где —функция Лапласа.
Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.
φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е.; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.
Системы случайных величин.
o Вектор, где —случайные величины, называются n- мерным случайным вектором.
Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IRn в n-мерное действительное пространство IRn.
o Функция
называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин.
Свойства функции распределения случайного вектора.
Свойство 1..
Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.
Пусть x1<y1, тогда событие.
Тогда. По свойству вероятности если, то, получим. Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.
Свойство 3..
=0
Свойство 4.
.
=.
o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.
o Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция, называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения.
Свойства плотности распределения случайного вектора.
Свойство 1.
Свойство 2..
.
Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем,.
Свойство 3., где —множество из пространства IRn.
o Говорят, что случайный вектор имеет равномерное распределение в области, если она непрерывна и имеет плотность.
Если множество
.
o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.
Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью, а случайная величина, где —монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность.
а) Пусть функция возрастает. По определению
.
Продифференцируем обе части. Справа получим:, слева—, что и требовалось.
б) Пусть убывает.
.
Продифференцировав обе части,.
Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина
А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.
Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | ||
| Р | 0,6 | 0,4 |
Найти распределение функции.
Решение. Найдем возможные значения Х:
,. Искомое распределение Y:
| Y | ||
| P | 0,6 | 0,4 |
Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | -2 | ||
| Р | 0,4 | 0,5 | 0,1 |
Найти распределение функции.
,.
Вероятность возможного значения y1=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х1=-2, Х2=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y2=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.
| Y | ||
| P | 0,9 | 0,1 |
Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.
1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения
| Х | x1 | x2 | … | xn | ||||
| Р | p1 | p2 | … | pn | ||||
| Y | φ(x) | φ(x) | … | φ(x) | ||||
| P | p1 | p2 | … | pn | ||||
.
Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | |||
| Р | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найти математическое ожидание функции.
Возможные значения Y:
;;.
.
2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой:.
Если возможны значения, то.
Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции.
,,,; Следовательно,
.
