Геометрические вероятности.
Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на.
Геометрическая вероятность на прямой.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:
— геометрическая вероятность на плоскости.
Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством:
Геометрическая вероятность в пространстве.
Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.
Свойства вероятности.
Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е...
Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.,.
Свойство 3. Для любого события., т.к., то и следовательно.
Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:
Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей)
.
Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых)
Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то
.
Свойство 7. Если (А влечет В), то.
, тогда.
Свойство 8. Если, то.
. Следовательно,. Тогда.
Свойство 9..
,.
Свойство 10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то.
Т.к., то по свойству 6:
Условная вероятность. Независимость.
o Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение, (реже)...
Теорема (умножение вероятностей):.
Теорема (обобщенная теорема умножения).
.
Доказательство:
.
Пример. Студент знает 20 вопросов из 25, преподаватель задает 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.
А—событие, что студент знает все три вопроса.
А1— знает первый вопрос;
А2— знает второй вопрос;
А3— знает третий вопрос;
;.
o События А и В называются независимыми, если.
Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B).
.
Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы.
Пример. Бросаются две симметричные монеты. Найти вероятность того, что на обоих монетах выпадут гербы.
. А–на первой монете герб, В–на второй монете герб. А и В независимы.
o События А1,А2,…,Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если
(для i≠j; i,j{1,2,3,…,n})–попарная независимость событий;
, …,
.
Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.
Формулы полной вероятности и Байеса.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
, или.
Так как события образуют полную группу, то можно записать.
Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i{1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей
Пример. Имеются 2 урны. В первой—3 белых и 5 черных шаров, во второй—4 белых и три черных. Из первой наудачу взят один шар и переложен во вторую урну. После этого из второй урны был извлечен наудачу шар. Какова вероятность, что он белый?
Событие А—из второй урны извлечен шар;
Н1—из первой урны во вторую переложен белый шар
Н2—из первой урны во вторую переложен черный шар.
.
Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn, образующие полную группу, называются гипотезами.
Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:
,
Доказательство: По теореме умножения вероятностей
.
Отсюда находим вероятность
. Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.
Пример. Рассмотрим предыдущий пример с учетом того, что из второй урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны вынули белый шар. Нужно найти P(H1|A).
.
.
Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.
