Полиноминальное распределение.
Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.
,, p+q=1.
Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.
o Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Элементарным исходом будет являться:
(w1,w2,…,wn),.
Всего таких исходов 2n.
. (1)
Формула (1) показывает, что события независимы.
Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие.
По теореме сложения получим
Таким образом, получим
—формула Бернулли.
Пример. 2 шахматиста играют в шахматы. Оба шахматиста равны по силам. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две из четырех (ничьи во внимание не принимаются)?
,,.
.
Полиномиальное распределение.
Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,
P(Ei)=pi,. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:
где
Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.
Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине, то есть.
Доказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях
, где q=1-p.
Отсюда.
По условию.
Подставляя, получим
Перейдем к пределу при, т.е.
.
— формула Пуассона.
Теоремой удобно пользоваться, когда р→0,. Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k.
Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобнее пользоваться приближенными формулами, одна из которых содержится в следующей теореме.
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях.
, где;, q=1-p.
Без доказательства. Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).
Пример. Пусть вероятность появления события А в каждом отдельном испытании р=0,8. Найти вероятность того. Что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях. (k=75, n=100.).
По формуле Бернулли
–неудобно.
Воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа:
.
Значение функции φ(-1,25)=φ(1,25)=0,1826 (по таблице). Тогда искомая вероятность:.
Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0<p<1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях определяется выражением:
, где
—функция Лапласа,
,,.
Без доказательства.
Функция Лапласа—нечетная, т.е.. Значения находят по таблице.
Пример. Пусть вероятность появления события А Р(А) в каждом отдельном испытании равна 0,8. Найдем вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.
n=100
p=0,8.
q=0,2
k1=70.
k2=100
;
.
Случайные величины.
o Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Пример. Пусть дважды подбрасывается монета. Тогда.
Рассмотрим случайную величину Х–число выпадений герба на пространстве элементарных исходов Ω. Множество возможных значений случайной величины:2,1,0.
| w | (г,г) | (г,р) | (р,г) | (р,р) |
| X(w) |
Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.
o Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.
.
.
Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.
