Поиск:

Статистика. Лабораторный практикум

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8910 11 12 Следующая ⇒

Часть 1

Подписано в печать 28.05.2002 г. Формат 60х84 1/16.

Бумага писчая №1. Печать офсетная. Усл. п.л. 2,9.

Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз.

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Отпечатано на ротапринте Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

246019, г. Гомель, ул. Советская, 104.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ТЕОРИЯ Часть 1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Часть 1 Подписано в печать 28.05.2002 г. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая №1. Печать офсетная. Усл. п.л. 2,9. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Отпечатано на ротапринте Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 246019, г. Гомель, ул. Советская, 104.

Гомель 2005 Составитель: В.В. Бураковский, доцент, кандидат физико-математических наук Рецензенты: Т.И. Васильева, доцент, кандидат физико-математических наук; кафедра высшей математики Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Рекомендован к изданию научно-методическим советом Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 27 марта 2002 года, протокол №7 Лабораторный практикум включает 6 лабораторных работ по следующим разделам теории вероятностей: классическое определение вероятности, основные формулы комбинаторики, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса, формула Бернулли, законы распределения и числовые характеристики случайных величин. Содержит основные теоретические сведения, примеры решения задач по теории вероятностей и контрольные задания. Предназначен для студентов математического, физического, экономического и заочного факультетов. © В.В. Бураковский © Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска

. Это означает, что Z(t)—стационарная в широком смысле случайная функция. Литература

В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика», М., «Высшая школа», 1977 г., 480 с.
В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по ТВ и МС», М., «Высшая школа», 1979, 400 с.
А.И. Герасимович «Математическая статистика», Минск, «Вышэйшая школа», 1983 г.
В.С. Пугачев «ТВ и МС», М., 1980 г.
Смирнов Н.В., Дунин-Барковский «Курс по ТВ и МС для технических приложений», М., Наука, 1969 г.
Бураковский В.В. Лабораторный практикум по курсу «ТВ и МС» для студентов математического и экономического факультетов. Гомель, ГГУ им. Ф. Скорины, 1993, 42 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова, Москва, 1965.
Бураковский В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Лабораторный практикум. Часть 1. Гомель, ГГУ им. Ф. Скорины, 2002, 52 с.

Учебное издание Бураковский Владимир Викторович

Скорины», 2002 СОДЕРЖАНИЕ §1. Введение ……………………………………………...4 §2. Аксиомы теории вероятностей ………………………..12 §3 Дискретные пространства элементарных исходов …..12 §4. Элементы комбинаторики………………………………15 §5. Геометрические вероятности.....……………………….18 §6. Свойства вероятности. ……….…………………………19 §7. Условная вероятность. Независимость……………….. 21 §8. Формулы полной вероятности и Байеса. ……………...23 §9. Схема независимых испытаний Бернулли Полиноминальное распределение. …………………….25 §10 Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. ……………………………………… 27 §11. Случайные величины …………………………………31 §12. Дискретные случайные величины..…….…………….33 §13. Простейший поток событий. …………………………37 §14. Числовые характеристики дискретных случайных величин. ……………………………………………….39 §15. Непрерывные случайные величины. ………………...46 §16. Системы случайных величин. ………………………..57 §17. Функция двух случайных аргументов ………………63 §18. Числовые характеристики системы двух случайных величин. ………………………………………………..67 §19. Производящие функции. ……………………………..69 §20. Распределение «xи квадрат». ………………………...72 §21. Распределение Стьюдента. …………………………...73 §22. Распределение Фишера. ……………………………...73 §23. Характеристические функции. ………………………74 §24. Законы больших чисел. ………………………………78 §25. Центральная предельная теорема. …………………...81 §26. Функция надежности. Показательный закон надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности…. ……………...82 §27. Случайные функции. …………………………………84

Положим

, тогда

зависит от разности

. Положим

. Тогда имеем

. Т.к.

, то корреляционная функция

четная. На рисунке изображен график корреляционной функции одного из стационарных процессов. y

Пусть X(t)—стационарный случайный процесс. Его корреляционная функция

—четная функция от τ. Например, если

, где X и Y—некоррелированные случайные величины, у которых

, то

. Теорема. Если X(t) и Y(t)—некоррелированныестационарные случайные функции, то их сумма

—также стационарная функция.

§28. Взаимно корреляционная функция ………………….89 §29. Стационарный процесс ……………………………….91 Глава 1 Теория вероятностей. § 1 Введение. Возникновение теории вероятностей относят к XVII веку и связывают с решением комбинаторных задач теории азартных игр и потребностями страхового дела. Азартные игры и страхование являются классическими примерами вероятностных экспериментов. Именно азартные игры дали стимул для построения математических моделей игровых ситуаций. Эти модели представляли возможность игроку ориентироваться в ходе игры, делать расчет ставок, оценивать шансы выигрыша, а также позволяли планировать расходы и доходы страховых компаний и.т.д. Эти модели начали разрабатывать в XVII веке Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс. Основы классической теории вероятностей, которые сохранились и в настоящее время, были сформулированы в XVIII веке в работах Я.Бернулли, А.Муавра, П.Лапласа, С.Пуасона, К.Гаусса. В 1933 г А.Н.Колмогоров опубликовал «Основные понятия теории вероятностей», в которой дал аксиоматическое построение теории вероятностей, основанной на теории множеств. Такое построение теории вероятностей сделало ее строгой математической наукой.

случайные величины,

. Требуется найти корреляционную функцию для случайного процесса

. § 29. Стационарный процесс. o Процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если плотность его распределения

удовлетворяет условию

(1) для

. Если (1) выполняется для n=2, то случайный процесс называется стационарным в широком смысле. Для стационарных процессов

. Аналогично можно показать, что

также не зависит от времени t. Переходим к нахождению корреляционной функции случайного процесса:

В это же время выделяется новая дисциплина—математическая статистика, которая имеет в настоящее время огромное прикладное значение. Она применяется в экономике, технике, социологии, физике и т.д. От ТВ отделились новые математические дисциплины: теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория планирования экспериментов. Сейчас они бурно развиваются. П.1.1. Вероятностный эксперимент. Предмет и задачи теории вероятностей. Результаты любого эксперимента в той или иной степени зависят от комплекса условий S, при которых данный эксперимент производится. Эти условия либо объективно существуют, либо создаются искусственно (т.е. производится планирование эксперимента). По степени зависимости результатов эксперимента от условий, при которых он производился, все эксперименты можно разделить на два класса: детерминированные и вероятностные. o Детерминированные эксперименты—это эксперименты, результаты которых можно предвидеть заранее на основании естественнонаучных законов исходя из данного комплекса условий S. Примером детерминированного эксперимента является определение ускорения, получаемого телом массы m под воздействием силы F, т.е.. Искомая величина однозначно определяется комплексом условий эксперимента

т.е. корреляционная функция алгебраической суммы некоррелированных функций равна сумме их корреляционных функций. Если

, то

(8).

При некоррелированности слагаемых имеем

(9). Пример 1. Пусть случайный процесс определяется формулой

, где X,Y—случайные величины. Требуется найти основные характеристики этого процесса, если

. На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

;

. Корреляционная функция находится по формуле (1).

;

. Пример 2. Пусть X и Y—некоррелированные

(т.е.

массой тела m и силой F). Детерминированными являются, например, все процессы, основанные на использовании законов классической механики, согласно которым движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело. o Вероятностные эксперименты (стохастические или случайные)—эксперименты, которые можно повторять произвольное число раз при соблюдении одних и тех же стабильных условий, но, в отличие от детерминированного, исход вероятностного эксперимента неоднозначен, случаен. Т.е. нельзя заранее на основании комплекса условий S предвидеть результат вероятностного эксперимента. Однако, если вероятностный эксперимент повторять многократно при одних и тех же условиях, то совокупность исходов таких экспериментов подчиняется определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей (а точнее их математических моделей) и занимается теория вероятностей. Приведем несколько примеров вероятностных экспериментов, которые в дальнейшем будем называть просто экспериментами. Пример 1 Пусть эксперимент заключается в однократном подбрасывании симметричной монеты. Этот эксперимент может закончиться одним из исключающих друг друга исходов:

§ 28. Взаимно корреляционная функция. Во многих задачах можно встретиться с тем, что имеются 2 случайных процесса, которые оказывают влияние друг на друга. Это влияние может быть оценено с помощью взаимной корреляционной функции, которая определяется по формуле

(4). Здесь X(t) и Y(t)—два случайных процесса:

;

. Рассмотрим случайный процесс Z(t), равный алгебраической сумме случайных процессов X(t) и Y(t):

(5). Найдем корреляционную функцию для процесса Z(t):

. Таким образом,

. (6) В случае, если случайные функции X(t) и Y(t) не коррелирован

ны, то при

и t₂

, взаимно корреляционная функция случайных функций тождественно равна нулю и

(7),

выпадение герба или решетки (решки). Если точно знать начальные скорости поступательного и вращательного движения и начальное положение монеты в момент броска, то можно предвидеть результат этого эксперимента по законам классической механики. Т.е. он был бы детерминированным. Однако исходные данные эксперимента не могут быть зафиксированными и постоянно изменяются. Поэтому говорят, что результат эксперимента неоднозначен, случаен. Тем не менее, если будем подбрасывать одну и ту же симметричную монету многократно по достаточно длинной траектории, т.е. по возможности сохраним стабильными некоторые условия эксперимента, то совокупное число его исходов подчиняется определенным закономерностям: относительная частота выпадения герба

, частоте выпадение бросков (n—число бросков, m₁—число выпадений герба, m₂—решки). Пример 2 Предположим, что мы заполняем карточку спортлото. До проведения тиража выигрышей невозможно предсказать, сколько номеров будет правильно угадано. Однако опыт проведения тиража спортлото говорит о том, что средний процент игроков, угадавших m (1≤m≤6) номеров, колеблется около некоторой постоянной величины. Эти «закономерности» (средний процент правильного угадывания данного количества номеров) используются для расчета фондов выигрыша.

Свойство 3.

, где

—неслучайная функция.

При

o Центрированной случацной функцией

,соответствующей X(t), называется

(2) Очевидно, математическое ожидание центрированной функции—тождественный нуль, среднее квадратичное отклонение и корреляционная функция такие же, как и у X(t). o Нормированной называется случайная функция

(3),

. Для этой функции

—коэффициент линейной корреляции между X(t₁) и X(t₂).

Вероятностные эксперименты имеют следующие общие черты: непредвиденность результата; наличие определенных количественных закономерностей при их многократном повторении при одинаковых условиях; множество возможных исходов. o Предметом теории вероятностейявляется количественный и качественный анализ математических моделей вероятностных экспериментов, называемый статической обработкой экспериментальных данных. o Теория вероятностей—наука, занимающаяся анализом математических моделей для принятия решений в условиях неопределенности. п. 1.2. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства Первичным понятием теории вероятностей, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента. Пример 1. Предположим, что бросается симметричная монета. Тогда

(герб и решка). 2. Игральная кость

. 3. Бросаются две монеты

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках. У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X₁(t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X₂(t). У первого процесса зависимость между сечениями X₁(t) и

будет больше, чем зависимость для сечений X₂(t) и

второго процесса, т.е.

убывает медленнее, чем

, при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое. Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин. Свойство 1.Свойство симметричности

. Свойство 2.Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое

, то от этого корреляционная функция

не изменится, т.е.

. Действительно,

4. Бросаются две игральных кости

. Число элементарных исходов 36. 5. На [AB] числовой оси w бросается наудачу точка.

6. На [AB] бросаются две точки

. B

Определение. Событиемназывается произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А. Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента происходит элементарный исход w

A, т.е. благоприятствующий событию А. Рассмотрим пример 2.

–событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков;

–событие, состоящее в выпадении четного числа очков. Все пространство элементарных исходов Ω,

, где X(t_i)—сечение процесса, отвечающее моменту времени t_i, но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений. o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским. Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию

—математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них—это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t₁) и X(t₂). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

. (1)

oесли взять в качестве события, называют достоверным событием, поскольку оно происходит в любом эксперименте (всегда). o Пустое множество

(т.е. множество, которое не содержит ни одного элементарного исхода) называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит. Все остальные события, кроме Ω и

, называются случайными. Операции над событиями. 0.1 Суммой событий А и В называется объединение этих множеств А

или

–событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. 0.2 Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. А

В. Обозначается как АВ. АВ–событие, когда А и В происходят одновременно.

. 0.3 Разностью событий А и В называется разность множеств А\В. А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.

. o События А и В называются несовместимыми, если

. Если А и В несовместимы, то будем обозначать

. Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В, т.е.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом. На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t). Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция

—совместная плотность распределения системы случайных величин

, где t₁ и t₂—произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин

и т.д. Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместимого распределения

n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин

o(когда происходит А, происходит В).

. o Событие

называется противоположным к событию А. Пример 2.

происходит тогда, когда А не происходит. o Говорят, что события Н₁,Н₂,…,Н_n образуют полную группу, если Н₁+Н₂+…+Н_n=Ω (т.е. Н₁, Н₂, Н_n–несовместимы, т.е. Н_i Н_j=

, если i≠j). Например, А и

образуют полную группу:

. Предположим, что производится некоторый случайный эксперимент, результат которого описывается пространством Ω. Произведем N экспериментов. Пусть А—некоторое событие (

), N(A)—число тех экспериментов, в которых произошло событие А. Тогда число

называется относительной частотой события А. Свойства относительных частот. Свойство 1.Относительная частота произвольного события А.

. Свойство 2.Относительная частота достоверного события равна 1.

Таким образом, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем». Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому, если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону. § 27. Случайные функции. o Случайной функциейназывается функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной. Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно. o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Свойство 3. (Аддитивность) Относительная частота суммы несовместимых событий

§2. Аксиомы теории вероятностей. Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—некоторый класс подмножеств Ω. o Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому

ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А, так что при этом выполняется аксиомы: Аксиома 1.

Аксиома 2.

,т.е. вероятность достоверного события равна 1. Аксиома 3.(счетной аддитивности) Если

, то

(для несовместимых событий). § 3 Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Бесконечное множество называется счетным,

o Показательным законом надежностиназывают функцию

(2), где λ—интенсивность отказов. Формула (2) позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t, если время безотказной работы имеет показательное распределение. Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с интенсивностью λ=0,02. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100ч.

. Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит от длительности интервала времени t (при заданной интенсивности отказов λ). Введем обозначения событий: А={безотказная работа на интервале (0, t₀) длительности t₀}; В={безотказная работа на интервале (t₀,t₀+t) длительности t}. По формуле (2)

. Полученная формула не содержит t₀, а содержит только t. Таким образом, условная вероятность безотказной работы элемента в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

oесли элементы этого множества можно занумеровать числами натурального ряда (натуральными числами). Все другие бесконечные множества называются несчетными. Примером несчетного множества может служить [а,b], счетного N. o Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечно или счетно, т.е.

или

. Любому элементарному исходу

ставится в соответствие число

, так что при этом

. Т.е.

o Вероятностью события А называется число

. Пример. Бросаем игральную кость

—дискретное пространство элементарных исходов.

. Р (выпадает нечетное количество очков)=

Сделаем следующие предположения: 1. Пространство элементарных исходов

—конечно. Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е.

. Тогда получим

, т.к. слагаемые равны, то имеем

, т.е.

. § 26. Функция надежности. Показательный закон надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности. o Будем называтьэлементомнекоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении временного интервала длительности t происходит его отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину—длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за интервал времени длительности t наступит отказ. Таким образом, функция распределения

определяет вероятность отказа элемента за интервал времени длительности t. Следовательно, вероятность безотказной работы за этот же интервал времени длительности t, т.е. вероятность противоположного события T>t равна

(1). o Функцией надежности R(t)называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за интервал времени длительности t:

. Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

, где t>0. Следовательно, в силу (1)функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:

, где

. Рассмотрим некоторые события

, где k≤n. Вероятность события А.

o Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов:

. Это классическое определение вероятности. Примеры: 1. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?

, n=6;

, k=3;

. 2. Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб?

. 3. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи?

, n=36;

—относительная частота появления события А.

. N(A)=μ,

. Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)). *********************************** § 25. Центральная предельная теорема. Теорема. (Ц.П.Т.).Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G². Тогда при

вероятность того, что

, где

. N(x)—функция стандартного нормального распределения. Замечание 1. Центральная предельная теорема обосновывает тот факт, что нормальное распределение встречается в природе чаще других. Замечание 2. При больших

, поэтому

. ЦПТ можно записать в другой форме:

, k=6;

. §4. Элементы комбинаторики. Лемма 1. Из m элементов а₁,…,а_m первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (а_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы. Доказательство:

Всего имеем m∙n пар. Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=4∙9=36. Лемма 2. Из n₁ элементов первой группы a₁, а₂,…, а_n₁, n₂элементов второй группы b₁,

Отсюда (т.к. ).

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8910 11 12 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2016-10-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 392 | Нарушение авторских прав

Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

1777 -

| 1459 -

Ген: 0.021 с.