Поиск: Рекомендуем: 
Почему я выбрал профессую экономиста
Почему одни успешнее, чем другие
 Периферийные устройства ЭВМ
 Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки)
Категории:  Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника
|
Статистика. Лабораторный практикум
Часть 1
Подписано в печать 28.05.2002 г. Формат 60х84 1/16.
Бумага писчая №1. Печать офсетная. Усл. п.л. 2,9.
Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз.
Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Отпечатано на ротапринте Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
246019, г. Гомель, ул. Советская, 104.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ген: 0.009 с. |
. 
.
Это означает, что Z(t)—стационарная в широком смысле случайная функция.
Литература
, тогда 
зависит от разности 
. Положим 
. Тогда имеем 
. Т.к. 
, то корреляционная функция 
четная.
На рисунке изображен график корреляционной функции одного из стационарных процессов.
y
Пусть X(t)—стационарный случайный процесс. Его корреляционная функция 
—четная функция от τ. Например, если 
, где X и Y—некоррелированные случайные величины, у которых 
, то 
.
Теорема. Если X(t) и Y(t)—некоррелированныестационарные случайные функции, то их сумма 
—также стационарная функция.
,
,
, 
.
.
§ 29. Стационарный процесс.
o Процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если плотность его распределения 
удовлетворяет условию 
(1) для 
. Если (1) выполняется для n=2, то случайный процесс называется стационарным в широком смысле.
Для стационарных процессов
.
Аналогично можно показать, что 
также не зависит от времени t. Переходим к нахождению корреляционной функции случайного процесса:
, то 
(8).
При некоррелированности слагаемых имеем 
(9).
Пример 1. Пусть случайный процесс определяется формулой 
, 
, где X,Y—случайные величины. Требуется найти основные характеристики этого процесса, если 
.
На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:
;
.
Корреляционная функция находится по формуле (1).
.
; 
, 
.
Пример 2. Пусть X и Y—некоррелированные
массой тела m и силой F).
Детерминированными являются, например, все процессы, основанные на использовании законов классической механики, согласно которым движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело.
o Вероятностные эксперименты (стохастические или случайные)—эксперименты, которые можно повторять произвольное число раз при соблюдении одних и тех же стабильных условий, но, в отличие от детерминированного, исход вероятностного эксперимента неоднозначен, случаен. Т.е. нельзя заранее на основании комплекса условий S предвидеть результат вероятностного эксперимента. Однако, если вероятностный эксперимент повторять многократно при одних и тех же условиях, то совокупность исходов таких экспериментов подчиняется определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей (а точнее их математических моделей) и занимается теория вероятностей. Приведем несколько примеров вероятностных экспериментов, которые в дальнейшем будем называть просто экспериментами.
Пример 1
Пусть эксперимент заключается в однократном подбрасывании симметричной монеты. Этот эксперимент может закончиться одним из исключающих друг друга исходов:
(4).
Здесь X(t) и Y(t)—два случайных процесса:
; 
.
Рассмотрим случайный процесс Z(t), равный алгебраической сумме случайных процессов X(t) и Y(t):
(5).
Найдем корреляционную функцию для процесса Z(t):
.
Таким образом, 
. (6)
В случае, если случайные функции X(t) и Y(t) не коррелирован 
и t2 
, взаимно корреляционная функция случайных функций тождественно равна нулю и 
(7),
, частоте выпадение бросков (n—число бросков, m1—число выпадений герба, m2—решки).
Пример 2
Предположим, что мы заполняем карточку спортлото. До проведения тиража выигрышей невозможно предсказать, сколько номеров будет правильно угадано. Однако опыт проведения тиража спортлото говорит о том, что средний процент игроков, угадавших m (1≤m≤6) номеров, колеблется около некоторой постоянной величины. Эти «закономерности» (средний процент правильного угадывания данного количества номеров) используются для расчета фондов выигрыша.
Свойство 3. 
, где 
—неслучайная функция.
При 
o Центрированной случацной функцией 
,соответствующей X(t), называется 
(3),
, 
.
Для этой функции 
, 
—коэффициент линейной корреляции между X(t1) и X(t2).
(герб и решка).
2. Игральная кость 
.
3. Бросаются две монеты 
.
Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.
У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X1(t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X2(t). У первого процесса зависимость между сечениями X1(t) и 
будет больше, чем зависимость для сечений X2(t) и 
второго процесса, т.е. 
убывает медленнее, чем 
, при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.
Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.
Свойство 1.Свойство симметричности 
.
Свойство 2.Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое 
не изменится, т.е. 
.
Действительно,
. Число элементарных исходов 36.
5. На [AB] числовой оси w бросается наудачу точка. 
6. На [AB] бросаются две точки 
.
B
Определение. Событиемназывается произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А.
Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента происходит элементарный исход w 
A, т.е. благоприятствующий событию А.
Рассмотрим пример 2. 
, 
–событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков; 
–событие, состоящее в выпадении четного числа очков.
Все пространство элементарных исходов Ω,
, где X(ti)—сечение процесса, отвечающее моменту времени ti, но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.
o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.
Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию 
—математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса 
.
Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них—это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t1) и X(t2). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.
. (1)
(т.е. множество, которое не содержит ни одного элементарного исхода) называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит.
Все остальные события, кроме Ω и 
B.
или 
.
–событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.
0.2 Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. А 
.
0.3 Разностью событий А и В называется разность множеств А\В.
А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.
и 
.
o События А и В называются несовместимыми, если 
. Если А и В несовместимы, то будем обозначать 
.
Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В, т.е. 
Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.
На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.
Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).
Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция 
—совместная плотность распределения системы случайных величин 
, где t1 и t2—произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин 
и т.д.
Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместимого распределения 
.
o Событие 
называется противоположным к событию А.
Пример 2. 
. 
происходит тогда, когда А не происходит.
o Говорят, что события Н1,Н2,…,Нn образуют полную группу, если Н1+Н2+…+Нn=Ω (т.е. Н1, Н2, Нn–несовместимы, т.е. Нi Нj= 
образуют полную группу: 
.
Предположим, что производится некоторый случайный эксперимент, результат которого описывается пространством Ω. Произведем N экспериментов. Пусть А—некоторое событие (
), N(A)—число тех экспериментов, в которых произошло событие А.
Тогда число 
называется относительной частотой события А.
Свойства относительных частот.
Свойство 1.Относительная частота произвольного события А. 
.
Свойство 2.Относительная частота достоверного события равна 1. 
.
§2. Аксиомы теории вероятностей.
Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—некоторый класс подмножеств Ω.
o Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому 
ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А, так что при этом выполняется аксиомы:
Аксиома 1. 
Аксиома 2. 
,т.е. вероятность достоверного события равна 1.
Аксиома 3.(счетной аддитивности) Если 
и 
, то 
(для несовместимых событий).
§ 3 Дискретные пространства элементарных исходов.
Классическое определение вероятности.
Бесконечное множество называется счетным,
(2), где λ—интенсивность отказов.
Формула (2) позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.
Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с интенсивностью λ=0,02. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100ч.
.
Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит от длительности интервала времени t (при заданной интенсивности отказов λ).
Введем обозначения событий:
А={безотказная работа на интервале (0, t0) длительности t0}; В={безотказная работа на интервале (t0,t0+t) длительности t}.
По формуле (2) 
, 
.
.
.
Полученная формула не содержит t0, а содержит только t.
Таким образом, условная вероятность безотказной работы элемента в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.
или 
.
Любому элементарному исходу 
ставится в соответствие число 
, так что при этом 
. Т.е. 
o Вероятностью события А называется число 
.
Пример. Бросаем игральную кость 
—дискретное пространство элементарных исходов. 
. Р (выпадает нечетное количество очков)= 
Сделаем следующие предположения:
1. Пространство элементарных исходов 
—конечно.
Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е. 
. Тогда получим 
, т.к. слагаемые равны, то имеем 
, т.е.
.
§ 26. Функция надежности. Показательный закон надежности.
Характеристическое свойство показательного закона надежности.
o Будем называтьэлементомнекоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное».
Пусть элемент начинает работать в момент времени t0=0, а по истечении временного интервала длительности t происходит его отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину—длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за интервал времени длительности t наступит отказ.
Таким образом, функция распределения 
определяет вероятность отказа элемента за интервал времени длительности t. Следовательно, вероятность безотказной работы за этот же интервал времени длительности t, т.е. вероятность противоположного события T>t равна 
(1).
o Функцией надежности R(t)называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за интервал времени длительности t: 
.
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого 
, где t>0.
Следовательно, в силу (1)функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид: 
.
, где 
. Рассмотрим некоторые события 
, где k≤n. Вероятность события А. 
o Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов: 
.
Это классическое определение вероятности.
Примеры:
1. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?
, n=6; 
, k=3; 
.
2. Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб?
, 
, 
.
3. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи?
, n=36;
—относительная частота появления события А.
. N(A)=μ, 
.
Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).
***********************************
§ 25. Центральная предельная теорема.
Теорема. (Ц.П.Т.).Пусть Х1,Х2,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G2. Тогда при 
вероятность того, что 
, где 
.
N(x)—функция стандартного нормального распределения.
Замечание 1. Центральная предельная теорема обосновывает тот факт, что нормальное распределение встречается в природе чаще других.
Замечание 2. При больших 
, поэтому 
. ЦПТ можно записать в другой форме: 
, k=6;
.
§4. Элементы комбинаторики.
Лемма 1. Из m элементов а1,…,аm первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (аi, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.
Доказательство:
Всего имеем m∙n пар.
Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=4∙9=36.
Лемма 2. Из n1 элементов первой группы a1, а2,…, аn1,
n2 элементов второй группы b1,
(т.к. 
).
