o Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно.
o Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (хi, рi), где xi—возможные значения случайной величины, а pi—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е., причем.
Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
| X | x1 | x2 | … | xn | … |
| P | p1 | p2 | … | pn | … |
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения xi, а по оси ординат—вероятности pi. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную, которая является одной из форм задания закона распределения дискретной величины.
Пример. Рассмотрим следующую дискретную случайную величину
| X | ||||
| P | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
o Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями.
| X | … | K | … | n | ||
| P | … | … | pn |
Пример. µ—число успехов в n испытаниях. µ имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p). Обозначают X~B (n,p), т.е. случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p).
o Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями.
| X | … | k | … | ||
| P | … | … |
Обозначают, т.е. случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ.
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<p<1) и, следовательно, вероятность его не появления q=1-p. Испытания заканчиваются как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через X дискретную случайную величину—число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями случайной величины Х являются натуральные числа.
Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступало, а в k-ом испытании появилось. Вероятность этого события.
o Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями, где q=1-p.
o
| X | … | k | … | |||
| P | p | qp | q2p | … | qk-1p | … |
Очевидно, что вероятности появления значений 1,2,3… образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1).
.
Пример 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
p=0,6; q=0,4; k=3..
Пример 2. Монета брошена два раза. Написать ряд распределения случайной величины X—числа выпадений «герба».
Решение. Вероятность выпадения «герба» в каждом бросании монеты, вероятность того, что «герб» не появится.
При бросании монеты «герб» может появится либо 2, либо 1, либо 0 раз. Т.е. возможные значения Х таковы: х1=0,х2=1, х3=2.
Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
;
;
.
Ряд распределения:
| X | |||
| P | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия(n-велико,p-мало).
По условию n=5000, p=0,0002, k=3. По формуле Пуассона, искомая вероятность.
Простейший поток событий.
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.
o Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.
Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.
o Поток событий называется стационарным, если вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t зависит только от k и t.
Таким образом, свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1, 7), (10, 16), (Т, Т+6) одинаковой длительности t=6 единиц времени равны между собой.
o Поток событий называется ординарным,если за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Таким образом, свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события в один и тот же момент времени практически равна нулю.
o Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последствия, если имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. Таким образом, свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при произвольном предположении о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (т.е. сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Следовательно, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
o Поток событий называется простейшим или пуассоновским, если он стационарный, ординарный, без последствия.
o Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за промежуток времени длительности t определяется по формуле:
,. Формула Пуассона.
Эта формула отражает все свойства простейшего потока, поэтому ее можно считать математической моделью простейшего потока.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
По условию λ=2, t=5, k=2. По формуле Пуассона
А)—это событие практически невозможно.
Б)—событие практически невозможно, т.к. события «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов»—несовместимы.
В)—это событие практически достоверно.
