Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:
а) утверждение справедливо при n=1;
б) при любом натуральном значении k из справедливости утверждения для n=k вытекает его справедливость и для n=k+1.
Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанными между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.
В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший выделяет три основных периода:
1) период содержательной аксиоматизации; господствовали до середины XIX в.
2) период полуформальной аксиоматизации; получил распространение в последней четверти XIX в.
3) период формальной аксиоматизации. Появился 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.
1. В содержательной аксиоматик е аксиомы описывают основные свойства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение до того, как задан список аксиом рассматриваемой теории, а используемые при доказательствах средства логики не получают какого-либо описания или уточнения (предполагается использование традиционной формальной логики).
Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиоматическое построение геометрии как основы и методологии всей математики разработал Евклид в «Началах».
Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осуществления построений с идеальными геометрическими объектами. Вот их формулировка:
«Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую < можно непрерывно продолжить по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором < может быть> описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Аксиомы (дословно — «общие мысли») содержат описания свойств любых величин и формулируются:
«1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства».
Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал».
2. В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объекты не получают непосредственных определений. Их заменяют аксиомы, описывающие отношения и связи между основными объектами.
Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах теорем используются средства традиционной логики.
При полуформальной аксиоматизации математической теории ее аксиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей
между объектами. Каждую такую область называют моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории.
Содержательный характер геометрической аксиоматики был поставлен под сомнение в первой половине XIX в. в связи с построением Лобачевским, Бойяи и Гауссом неевклидовых геометрий. Аксиомы оказались не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путем либо путем сведения к ранее установленным математическим истинам.
Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации.
В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступала бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых ее интерпретаций. Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г. — временем выхода классических «Оснований геометрии» Д. Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по существу, исчерпывающую разработку.
3. Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они естественным образом получаются из полуформальных аксиоматик при помощи формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух видах аксиоматик.
