Еще кусочек из самого Лакатоса

"Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами,

доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул,

определения — «сокращенными выражениями»,

которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны»

 

 

*Развитие науки, – это последовательная смена НИП, могущих какое-то время сосуществовать или конкурировать друг с другом.

*Она включает в себя “ жесткое ядро ”, “ защитный пояс ” и систему методологических правил (“ эвристик ”).

“Жесткое ядро” -это совокупность утверждений, которые в рамках данной исследовательской программы принимаются (в результате конвенции) как неопровержимые.

“Защитный пояс” – совокупность вспомогательных теорий и гипотез, инвариантом которых является “жесткого ядра” с аномалиями и контрпримерами.

“Эвристики” – методологические правила. одни из которых говорят, каких путей исследования следует избегать (отрицательные эвристики), а другие, каким путем следовать (позитивные эвристики) в рамках данной НИП.

Позитивная эвристика состоит из правил, способствующих позитивному развитию программы, Они являются движущей силой развития этих программ, способны стимулировать выдвижение вспомогательных гипотез, расширяющих эмпирическое и энергетическое содержание программы. Негативная эвристика состоит из методологических решений, ограничивающих множество возможных путей исследования.

Целью науки, с точки зрения Лакатоса, является защита "жесткого ядра ", а не познание действительного мира.

 

 

4. Трактовки числа в математическом познание. Проблема построения общей теории числа.

Гаусс( 1777–1855), виднейший из математиков более близкой к нам эпохи, в равной степени отдававший себя различным отраслям математики, следующими словами определил свое отношение к теории чисел: «Ма-тематика — царица наук, теория чисел — царица математики».

Первое научное определениечисла дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида ¹/_n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.).Потребность вболее точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-тоопределенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:

q иррациональное число рассматривали как корень n -ой степени из целого или дробного числа,когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;

q иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;

q иррациональное число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей.

Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).

Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математического анализа.

Рациональные и иррациональные числа на 3-ем уровне обобщения образовали действительные числа.

К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами: Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число א₀ (алеф-нуль – с иврита). Но множество א₀ тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א₁. И так далее…

Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило трансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но мертвую теорию?

Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числами меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

 

 

5. Кризисы и их роль в развитии математического знания.

Эволюция математики

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением или обобщением их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. Эти трудности роста математики — трудности её обоснования: они были, есть и будут в дальнейшем.

Трудности обоснования математики играют наиболее значительную роль в развитии математики тогда, когда возникает необходимость в коренной переработке основ и методологии математических теорий. В этих случаях говорят о кризисе основ математики. Кризис – всегда катастрофа, но не всегда беда. Хуже, когда развитие идёт гладко, без потрясений. Кризис – это всегда перерождение. Известны три кризиса основ математики.

Первый кризис античной математики в древней Греции.

школа Пифагора (571–479 г.г. до н. э.). Главной заслугой

* развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках.

*Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

* Учение о параллельных линиях.

*владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника.

*Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора.

*В стереометрии они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра.

*Причина кризиса - открытие несоизмеримых величин:

Две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают общей мерой, если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел.

*Позднее нашли, что также несоизмеримы отношения длины окружности к диаметру, площади круга и квадрата, построенного на радиусе, и другие величины.

Кризис был преодолен введением новых чисел, которые не являются ни целыми, ни дробными.

Они могут быть представлены в виде бесконечных непериодических дробей.

введены" иррациональные ", что значит "бессмысленные", если целые числа и дроби имели ясное физическое толкование, то для иррациональных чисел ею не находилось.

введение новых чисел оказало сильнейшее влияние на последующее развитие математики. Полностью теория иррациональных чисел сложилась лишь к концу XIX века, благодаря великим немецким математикам Дедекинду, Кантору и Вейерштрассу.

 

Второй кризис имел место в XVII - XVIII в. Это проблема бесконечности в древнегреческой философии и математике. Дело касалось истолкования бесконечно малых величин. математика - наука о бесконечном. Д. Гильберт, "Ни одна проблема не волновала гак глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного "ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного".

Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю.

Причина: Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же - принималось как значение, отличноеот нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин.

Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, в начале XIX века О. Коши.

Это парадоксальное состояние О. Коши разрешает введением качественно новых величин. Он берет их из области возможного, а не действительного.

Бесконечно малые - это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие.

То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

 

Третий кризи на рубеже XIX-XX веков затронул математику, логику и язык
К концу XIX века фундамент - теория множеств, Г.Кантор.

Понятие " множество " - простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами.

Далее вводится понятие " принадлежать ", то есть "быть элементом множества".

Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы. С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность.

логика. основные понятия теории множеств допускали логическое описание. Доказательство возможности существования математических объектов также получало логическое оправдание.

Многие исследователи задались целью свести математику к логике, то есть выразить исходные математические понятия и операции логически.

Программа логицизма - близка к завершению. Г. Фреге "Обоснования арифметики

"арифметическая катастрофа". В 1902 году Б. Рассел.

Г. Фреге использовал такие понятия, что это вело к парадоксу. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то является ли множество элементом самого себя?

Парадокс Б. Рассела.

Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента, другие - нет. А образуем класс из всех классов, которые не включают себя в качестве своего элемента. Попытаемся определить, будет ли он, входить элементом в свое же множество или не будет? Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.

*"парадокс парикмахера". "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя?

*был свидетельством противоречий в содержании математической теории.

*Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.

*Но множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.

*Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия.: "никогда не говори "никогда", "каждое правило имеет исключение", "всякое обобщение неверно".

Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие.

*Возникло новое обоснование Оно опиралось уже не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике - конструктивную ветвь.

*Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно - нетрадиционные пути развития математической теории.

*Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства.

*Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. *Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математической.

 

Таким образом, прослеживая историю математики, можно вслед за известным американский ученым Ф. Дэйвисом, сказать, что во все времена, в любой точке своей эволюции стоило математике оказаться в кризисном положении, как ее спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая авторитет непогрешимой науки.

 

 

6. Гносеологическая природа математического объекта: эмпиризм и априоризм в математике.

Мат знание – синтетич знание априори.
Всякое математическое познание имеет ту особенность, что оно должно показать свое понятие сначала в созерцании, и притом априорном, стало быть, чистом, а не эмпирическом: без этого средства математика не может сделать ни одного шага; поэтому ее суждения всегда интуитивны.
В ее основании должно лежать какое-то чистое созерцание Если мы в состоянии отыскать это чистое созерцание и его возможность, то отсюда легко объяснить, как возможны в чистой математике априорные синтетические положения и, стало быть, как возможна сама эта наука. Вопрос: как можно нечто созерцать a priori?

(Лейбниц: стина М-ки—истина разума.)
(Юм: нельзя знание изв. из опыта, а в матем можно, т.к. в мат истина – аналит знание априори.)
Кант опроверг Юма и Лейбница. М знание априори, суждения не завис от опыта, истина с всеобщностью и необход-ю. мат положения всегда априорные суждения, а не эмпир, т.к. они содержат в себе необходимость, которая не может быть взята из опыта.

 

В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм. *Платон различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа относятся к миру идей, геометрические объекты идеальные только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. *Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметик и (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.*Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. Выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. * Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»В теоретическом плане априоризм представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве. Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода. Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, однако существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.

 

 

7. Методологическое значение бесконечности в математике.

Отмечая заслуги Вейерштрасса в обосновании анализа бесконечно малых, Гильберт замечал, что “ дискуссия об основах анализа не закончилась. Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики еще не выяснено до конца”. И далее: “С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность”. “Этими замечаниями, – заключает автор, – я хочу только показать, что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума”.

Настоящую статью можно рассматривать как отклик на этот призыв Д.Гильберта. Действительно, что можно сказать о сущности бесконечного в начале третьего тысячелетия? Каждый, кто пытался уяснить ее, сразу обнаруживал, что бесконечность существует в двух формах: как бесконечность потенциальная и как бесконечность актуальная.

Потенциальная бесконечность. Понятие потенциальной бесконечности естественно возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n +1. Если мы дошли до шага k > n, то можно сделать и шаг k +1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у нас может не хватить сил, физических возможностей или ресурсов на шаге t для того, чтобы сделать шаг t +1. Но если мы от этих ресурсных ограничений абстрагируемся, то и получаем понятие потенциальной бесконечности. Потенциальная бесконечность есть безграничный процесс построения объектов, такой процесс, у которого нет последнего шага.