1. диалогичность и коммуникативность интеллектуальной деятельности.
объяснение и понимание с необходимостью предполагают друг друга, условием их продуктивности являются общие теоретические, логико-методологические, фактуальные и аксиологические предпосылки.
Понимание – универсальная форма освоения действительности, постижение и реконструкция смыслового содержания явлений исторической, социально-культурной, а также природной реальности
Понимание – личностный процесс, связанный с особенностями психики, нервной системы, духовного развития и т.п., одновременно оно связанно с его включенностью в различные коммуникативные системы человеческого общения.
Соотношение субъективного и объективного, психологического и логического, интуитивного и рационального по-разному представлены на разных уровнях и типах понимания.
нтерпретация и основанное на ней понимание должны учитывать: с одной стороны, - все объективные данные, относящиеся к информационным системам; с другой стороны, никакая интерпретация не может подходить к своему объекту без каких-либо идей, теоретических представлений, ценностей ориентации, т.е. без того, что связано с деятельностью познающего субъекта. В какой бы форме ни осуществлялась интерпретация, она теснейшим образом связана с пониманием, так как служит его исходной основой. Из того, что в процессе понимания индивид сам приписывает смысл объекту, вовсе не следует, что всякое понимание в равной степени приемлемо. Интерпретация объекта всегда носит гипотетический характер и может быть пересмотрена. Таким образом, главная цель понимания состоит в том, чтобы придать смысл объекту познания.
Субъект предстает перед нами как «человек интерпретирующий».
Инструмент интерпретации – сознание воспринимающей произведение личности, то есть интерпретация рассматривается как производное от восприятия.
М. Хайдеггер, понимание – фундаментальный способ человеческого бытия.
два вида понимания: первичное – открытость, настроенность, дорефлексивное пред-понимание,
вторичное – понимание, близкое рефлексии, не способ бытия, но вид познания, возникающий на рефлексивном уровне,
центральным методологическим принципом является герменевтический круг – это главное методологическое понятие герменевтики. В герменевтическом круге понимание на лицо своеобразная диалектика целого и части:
Проблема, в сфере математического образования.
формализмы в связи с тенденцией к поиску все более общих, простейших структур потеряли всякую связь с конкретными задачами, которые когда-то привели к их созданию.
Ж.Ж. Руссо. писал в своей «Исповеди», что долго не мог поверить в доказанную им самим формулу квадрата суммы, пока наконец не разрезал квадрат на два квадрата и два равных прямоугольника. Единственный способ сделать осмысленным освоение математических формализмов (включая формализм арифметики) состоит в показе их предметных интерпретаций.
Идея эта не нова. Еще на заре XX в. А. Пуанкаре предлагал обучать учащихся действиям с простыми дробями путем разрезания (хотя бы мысленно) либо круглого пирога, либо яблока. Такой метод преподавания позволяет избежать нелепых выводов, которые сплошь и рядом делают современные школьники, считая, например, что 1/2+1/з=2/5-
Подобного рода педагогические идеи идут в разрез с тем стилем математического образования, который, следуя Бурбаки, ставит во главу угла обучение учащихся аксиоматике, на основе которой строятся эффективные, но малопонятные для них математические формализмы. С точки зрения Бурбаки, математика представляет собой иерархию структур на множествах, начиная с простейших (например, структура группы), и заканчивается сложными, состоящими из нескольких порождающих структур. В число последних попадает, в частности,
классический анализ. Следуя этой логике, начинать обучение математике надо
с простейших формализмов, а заканчивать — теориями уровня математического анализа.
Такой подход к обучению игнорирует тот факт, что в реальной истории развития математики все обстояло с точностью до наоборот.
Сначала (в значительной степени под влиянием механики, т.е. материальной предметности) появились нестрогие методы дифференциального и интегрального исчисления, и лишь затем бьши развиты удовлетворяющие
современным критериям строгости соответствующие структуры и формализмы. Но это еще не все. В работах последних лет, написанных в рамках социокультурной философии математики, показано, что изложение математики в соответствии со строгим аксиоматическим подходом органично связано только с одним ее разделом — теоретической геометрией. Был также раскрыт механизм возникновения самого дедуктивного метода. А именно было показано, что греческая математика превратилась из науки о количественных отношениях реальных предметов в науку об идеальных объектах по существу благодаря случаю
(невозможности использования египетских строительных приемов в прикладных целях)1. И последнее. Восходящая к Канту идея о том, что математика имеет абсолютно достоверное ядро, в последнее время подвергается критике как со стороны философов (К. Поппер, И. Лакатос, Ф. Китчер, А.Г. Ба-
рабашев2), так и логиков и историков науки. В качестве примера последнего рода укажем на критику диагональной процедуры Г. Кантора, лежащую в основе многих разделов современной математики и до последнего времени считавшуюся логически корректной3. Указанные выше обстоятельства — стремительная смена технологий, кризис математического образования и критика идеи кумулятивного развития математики — можно рассматривать как признаки того, что математику в недалеком будущем ожидает переход в новое качество. Поскольку развитие культуры, в том числе культуры математической, совершается в результате сознательных действий людей (а не в процессе естественной эволюции, как это происходит в природе), то не только теоретической, но и чисто практической проблемой становится обоснование стратегий роста математики, исходя из анализа ее исторического развития в целом и особенностей наблюдаемых сейчас кризисных явлений.
11. Условия изменения стандартов истинности, строгости и точности в математике.
Математика издревле понималась как абсолютно строгая наука, где все положения доказаны совершенно определенно и навсегда. Самые выдающиеся мыслители античности, средних веков и нового времени пытались лишь объяснить непреложность математических истин, но никогда не ставили их под сомнение. В нашем веке, однако, релятивистский критицизм«захватил и математику.
В последнее время скептическое отношение к достоверности и строгости математического доказательства.. * Традиционное понимание математики: расхождение между предсказанием и экспериментом может быть следствием несовершенства физической модели либо неадекватности интерпретации, но никоим образом не дефектности дедуктивного рассуждения.
При традиционном понимании математики как строгой науки мы не ставим вопроса о надежности математического аппарата самого по себе, его способности переводить истинные суждения в истинные. *Современные сомнения в строгости математического доказательства есть, таким образом, сомнения в правильности традиционной методологии применения математики, в надежности ее как одного из средств исследования природы.
Проблема строгости в математике сводится к следующим трем проблемам:
1. В какой мере возможно обоснование герметичности доказательств?
2. Насколько мы можем доверять правилам логики, используемым в доказательстве?
3. В какой мере можно обосновать однозначность доказательства, т. е. невозможность противоречащего результата в данной системе посылок?
Изменение стандартов
различие между идеалом строгости и нормами строгости, специфичными для каждой эпохи ее развития.
Идеал математической строгости изменяется чрезвычайно медленно. Со времени греческой математики и до XIX века он оставался неизменным и состоял в требовании, чтобы теоремы следовали из аксиом без прибавления к ним каких-либо посторонних допущений, т. е. он состоял в требовании герметичности доказательства.
*Наиболее важное изменение этого идеала произошло в XIX веке и состояло в отказе от реалистической интерпретации аксиом как истинных и очевидных утверждений.
*Современный математик не связывает идеал строгости с требованием предметной истинности аксиом или с идеей их очевидности. Он вместе с тем включает в этот идеал наряду с герметичностью также и требование непротиворечивости всей системы выводов и адекватности логических норм. Это обогащение идеала идет, однако, не по линии его радикального изменения, а лишь в плане экспликации традиционного понятия.
ИСТОРИЯ Как показывает история науки, понятие С. развивалось постепенно. В ходе общего прогресса науки обычно оказываются превзойденными каноны С. представлявшиеся ранее абсолютно безупречными. Так обстояло, в частности, дело с геометрией Евклида. Долгое время она являлась идеалом С., но в 19 в. Н.М. Лобачевский писал о ней: «...Никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и... нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий».
*Требование непротиворечивости всей системы выводов данной теории и требование адекватности логических норм неявно всегда включались в представление о строгом выводе, но для математиков вплоть до XX века эти требования представлялись всегда и безусловно выполненными, всегда имеющимися налицо предпосылками мышления, проистекающими из самой его природы. Лишь в последнее время было понятно, что эти условия не выполняются сами собой, что здесь возможна вариабельность, следовательно, и особый источник нестрогости математического рассуждения в целом.
Явная формулировка указанных условий сделалась, таким образом, обязательной для адекватного представления идеала строгого вывода.
*Подобные изменения в общем представлении о строгости, разумеется, возможны и в будущем, но важно отметить, что они происходят чрезвычайно медленно и только в рамках экспликации фундаментальных представлений о сущности математики как науки.
Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанными между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.
Напротив, п ризнаки, с которыми мы связываем строгость доказательства, в то или другое время изменяются относительно быстро.
*Признаком строгого доказательства для пифагорийцев раннего периода было доказательство арифметическое. После открытия несоизмеримости величин гарантией строгости стали считать проведение его в геометрических понятиях.
*Декарт настаивал на правах интуитивной ясности и очевидности и поднял эти критерии математической истины до уровня общего критерия истинности.
В XVIII веке был выдвинут ряд отрицательных признаков строгого доказательства: запрет апеллировать к геометрическому чертежу и т. д. Очевидность окончательно потеряла свои права в качестве признака строгости в XIX веке.
Никогда не угасающие споры о строгости математики редко затрагивают общий идеал строгости; в этом пункте, на уровне общей интуиции строгости, математики не расходятся друг с другом. Речь идет, как правило, о конкретных требованиях к доказательству, которые предполагаются идеалом строгости. Общий идеал строгости не дает здесь однозначного руководства, и каждая эпоха в развитии математики характеризуется преобладанием своих, только ей свойственных требований к математическому рассуждению, призванных гарантировать его строгость.
В общем случае поэтому необходимо различать исторические 'нормы (требования) строгости от критериев строгости, посредством которых эти нормы проводятся и фиксируются в реальном рассуждении.
Степень развития норм и критериев строгости необходимо отличать от уровня фактической строгости математических доказательств в ту или другую эпоху. Мы будем считать математическое доказательство фактически строгим, если оно принимается в качестве доказательства и с точки зрения последующих эпох, т. е. если оно не может быть отвергнуто как ошибочное и невосполнимое с точки зрения каких-либо других, более глубоких критериев строгости. Фактическая строгость математики в широком диапазоне независима от существующих норм и критериев строгости.
Несмотря на неразвитость таких критериев, математики всех времен мыслили достаточно строго. В отличие от эмпирического знания в математике мы не наблюдаем систематического процесса фальсификации утверждений, полученных учеными предшествующих эпох. Эта замечательная особенность математического знания является, несомненно, одним из оснований представления о математике как о строгой и непогрешимой науке.
*понятие достоверности (надежности) математического доказательства, характеризующее доказательство с точки зрения предмета рассуждения, фактического положения дел в некоторой внутри математической или физической реальности. Имеются заведомо нестрогие рассуждения, но достоверные в том смысле, что они приводят к установлению полной истины. С другой стороны, можно представить себе логически законченное (строгое) доказательство, которое по некоторым причинам не воспринимается как достоверное, гарантированное от контрпримеров. Такая ситуация возникает иногда в основаниях математики.
Таким образом, строгость и достоверность — разные понятия, хотя и тесно связанные: наше стремление к строгости доказательства проистекает, очевидно, из стремления к его достоверности и надежности как средства предсказания в науке.
История математики и история познания показывают чрезвычайную устойчивость норм реальной логики. Анализ «Начал» Евклида показывает, что в них используются совершенно те же логические средства, что и в современных математических доказательствах, причем — все эти средства.
Несмотря на многообразие и изощренность современных логических теорий, реальное рассуждение в плане логических средств ничем не отличаетс я от мышления таких математиков, как Гиппократ и Евклид: в том и другом случае оно движется в очень узком кругу норм, аподиктичных для сознания, таких, как закон непротиворечия, закон исключенного третьего и т. д.
Кант был, конечно, неправ, когда утверждал, что логика как наука достигла в силлогистике Аристотеля полного завершения, но он не ошибался в том (несомненно, он имел в-виду и этот факт), что система логических норм, реально определяющих человеческое мышление, является в высшей степени устойчивой и мало меняется с изменением содержания знания.
*Кант был убежден в том, что логика как высшая априорная норма мышления вообще не изменяется. В настоящее время этот взгляд не может быть принят. Всякая система норм, включенная в процесс развития знания, очевидно, проверяет и корректирует себя в этом процессе.
*Логические законы, по Гуссерлю, «суть чисто теоретические истины идеального вида, коренящиеся исключительно в содержании своего значения и никогда не выходящие за его пре^ делы. Их, стало быть, не может коснуться никакое действительное или фиктивное изменение в мире matter of fact»12
12. Проблема пространства и времени в математике.
Важнейшими формами бытия материи являются пространство и время.
Пространство есть категория для обозначения протяженности и структурности всех материальных объектов.
Время есть категория для обозначения длительности существования и последовательности смены состояний всех материальных объектов.
Одной из главных философских проблем, связанных с пониманием статуса и свойств пространства является проблема их объективност и, т.е. независимости от нашего сознания.
Другие свойства пространства и времени можно подразделить на универсальны е (всеобщие) и специфичные ( всеобщность которых находится под вопросом).
К универсальным свойствам пространства и времени относятся:» их неразрывная связь друг с другом;
• связь с движением материи;
• бесконечность.
Специфичными характеристиками рассматриваемых форм бытия материи являются:
• трехмерность пространства и одномерность времени;
• однородность и изотропность пространства и анизотропия времени;
• непрерывность пространства и времени на макроуровне.
Характеристика этих свойств пространства и времени как неуниверсальных не означает, однако, что где-то опытным путем найдены исключения. Но вся логика развития естествознания последнего столетия свидетельствует о том, что подобные открытия — не за горами. К примеру, существуют сильные подозрения, что на глубинных этажах микромира пространство и время прерывны. Полагают, что они, как излучение, «квантованы», т.е. складываются из мельчайших неделимых «порций». Прогнозируемый «квант» пространства может иметь размер порядка 10~33 см (планковская длина, демонстрирующая масштаб проявления квантовых свойств). Соотношение этой длины с размером ядра атома примерно того же порядка, что и соотношение размеров человека и диаметра нашей Галактики. Для времени аналогичная величина составляет 10 ~43 секунд. До реального проникновения в такие масштабы современной науке еще далеко. Но если эта гипотеза когда-либо подтвердится, то философы, наконец, вздохнут с облегчением: апории Зенона Элейского найдут в этом случае свое удовлетворительное разрешение. Конечный отрезок перестанет состоять из бесконечного количества частей.
Немало сомненийу науки и по поводууниверсальности пространства, насчитывающего только три измерения. Уже построено немало теоретических моделей многомерных пространств (в теории супергравитации, например, использованы 11 измерений пространства времени, из которых 7 — скрытые). Практика же показывает, что то, что возможно чисто теоретически, рано или поздно обнаруживается и в реальности.
А теоретически возможно многое. В модели «пульсирующей Вселенной» предполагается, что ныне наблюдаемое ее расширение после Большого взрыва в один прекрасный момент сме-нится сжатием. А в описывающих эту фазу ее эволюции математических уравнениях время меняет свой знак с положительного на отрицательный, т.е. как бы «течет вспять». Так что и однонаправленность времени от прошлого к будущему также не считается ныне универсальной характеристикой.
Пространство и время -вот те созерцания, которые чистая математика кладет в основу всех своих познаний и суждений. Д-но, М должна показать все свои понятия сначала в созерцании, а чистая М - в чистом созерцании, т. е. она должна их конструировать. Ведь только в чистом созерцании может быть дан материал для априорных синтетических суждений. Геометрия кладет в основу “чистое" созерцание пространства. Арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени; но в особенности чистая механика может создавать свои понятия движения только посредством представления о времени. Но и те и другие представления суть только созерцания. Д-но, если из эмпирических созерцаний тел и их движения исключить все эмпирическое, то, что принадлежит к ощущению => пространство и время - чистые созерцания, a priori лежащие в основе эмпирических => они доказывают, что они только формы нашей чувственности, которые должны предшествовать всякому эмпирическому созерцанию.
Наиболее абстрактная формулировка понятия пространства дается в математике. В математике пространство определяется как множество объектов, которые называются его точками; при этом по определению вводятся какие-либо отношения между точками; эти отношения определяют геометрию пространства. Так, например, метрическое пространство – это множество точек, на котором введена метрика, т.е. задано правило определения расстояния между двумя любыми точками множества (примеры метрических пространств: числовая прямая, евклидово пространство любого числа измерений). Исторически первым математическим пространством является евклидово трехмерное пространство. В математике введены такие виды пространств, как евклидово многомерное пространство, пространство Лобачевского, Риманово пространство, гильбертово пространство, векторное, функциональное, метрическое, топологическое и др.
Предполагается, что математическое пространство безразлично к природе элементов.
Это позволяет применять его в различных областях науки – в физике, химии, биологии, психологии, истории, комплексных исследованиях и т.д. При этом точка множества, представляющего пространство, получает содержательную предметную интерпретацию в соответствии с исследуемой проблемой. Известно, что в теории относительности точки четырехмерного многообразия интерпретируются как физические события.
В науке широко используется понятие фазового пространства некоторой системы (например, физической, биологической, социологической…). Фазовое пространство системы – это совокупность всех ее возможных состояний, которые рассматриваются при этом как точки этого пространства. Какие математические пространства оказываются эффективными в тех или иных научных исследованиях - определяется их спецификой.
На всем протяжении человеческой культуры временное осознание действительности содержало в себе количественный аспект. Уже в мифологическом сознании существует представление о вечности, о далеко ушедших временах, о разделенности во времени нынешнего времени - настоящего и мифологического времени, которому посвящен миф. Вечность понимается как безграничность, открытость времени, которому нет предела, и как метрическая бесконечность его, бесконечность времени по величине. Время, по свидетельству Аристотеля, понимается и как величина и как число.
Текучесть настоящего позволяла использовать счет как средство измерения времени. В результате каждому моменту времени ставилось в соответствие число.
Порядок чисел натурального ряда соответствовал временному порядку раньше, чем (позже, чем). Бесконечность ряда соответствовала бесконечности и безграничности времени.
Правила арифметики позволяли вычислять временной интервал между событиями. Они
явились математической основой измерения времени с помощью часов (солнечных,
водяных, песочных, огненных). Эти часы использовались вплоть до XIII в.
Реляционная концепция П-В получила развитие и в ОТО. Эйнштейн попытался распространить физический принцип относительности и на неинерциальные системы. Простым и одновременно революционным открытием стал принцип эквивалентности инерционной и гравитационной масс. Поэтому, создавая теорию для неинерциальных систем отсчёта, Эйнштейн пришёл к созданию общей теории гравитации. Задолго до Эйнштейна в математике появились представления о кривизне пространства. Например, в геометриях Лобачевского, Римана. Эйнштейн наполнил эти математические абстракции физическим смыслом. Объекты, создающие сильные гравитационные поля, искривляют пространство, делают его неэвклидовым и замедляют течение времени. Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее в нём течёт время, по сравнению с временем вне поля. Эти эффекты позднее были экспериментально подтверждены (искривление луча света вблизи солнца, уменьшение частоты излучения атомов в белых карликах).
Таким образом, в 20 веке победил диалектико-материалистический подход к П-В. Исчезает представление об абсолютных П-В, единых для всей Вселенной. Взамен появляется представление о бесконечном множестве материальных тел, с каждым из которых связано собственное П-В. Это значит, что П-В не существуют отдельно от материи, а являются характеристиками материальных процессов, формами существования материи. Это также значит, что не существует пустого пространства, без материи. Эйнштейн писал: «…раньше считали, что если каким-нибудь чудом все материальные вещи исчезли бы вдруг, то пространство и время остались бы. Согласно же теории относительности вместе с вещами исчезли бы и пространство и время».
Новейшие представления о развитии материи необходимо учитывать при рассмотрении и такой важнейшей философской проблемы, как проблема бесконечности мира в пространстве и времени.
Часто бесконечность пространства и времени рассматривается как чисто количественная характеристика. Древнегреческий философ Архит приводил следующий наглядный образ такого понимания бесконечности. Если бросить копье по прямой, затем подойти к месту, где оно воткнулось, снова бросить копье и повторять эту операцию, все дальше удаляясь от места первого броска, то мы нигде не натолкнемся на границу, которая не позволила бы нам вновь бросать копье. Бесконечно удаляясь от места первого броска, мы никогда не вернемся в исходную точку. Понимание бесконечности пространства как беспредельного прибавления все новых единиц расстояния дополняется трактовкой бесконечности времени как беспредельного прибавления единиц длительности. Математическим образом такой бесконечности служит бесконечный натуральный ряд чисел, когда можно неограниченно прибавлять все новые и новые единицы, получая сколь угодно большие числа и нигде не имея предельного числа.
Гегель называл такую чисто количественную бесконечность «дурной» бесконечностью, поскольку она абстрагируется от качественных скачков. Бесконечность материи в пространстве и времени нужно понимать не в чисто количественном, а в качественном смысле. Это значит, что на разных уровнях организации материи можно столкнуться с качественно различными структурами пространства и времени.
Современные космологические представления допускают, что Большая Вселенная состоит из множества миров, аналогичных нашей Метагалактике. В этих мирах могут быть принципиально иные формы пространства и времени. Происхождение же нашей Метагалактики не означало творения времени и пространства как таковых, а лишь возникновение характерных для нашего мира специфических пространственно-временных структур. Причем эти структуры, в свою очередь, развивались по мере появления все новых уровней организации материи.
13. Математическое моделирование, его особенности и формы.
| Модели | |
| ↓ | ↓ |
| Материальные | Идеальные |
| ↓ | |
| Математические модели | |
| ↓ | ↓ |
| Описательные модели | Объяснительные модели |
Моделировани е – изучение объектов, посредством их моделей, под которыми понимаются аналоги этих объектов, подобные им в субстрактном, структурном или функциональном плане. (на основе аналогии)
| Виды математических моделей | |
| ↓ | ↓ |
| Модели описания | Модели объяснения |
Модель (лат. — мера, образец, норма) — в логике и методологии науки — аналог определенного фрагмента реальности, порождения человеческой культуры, концептуально-теоретичееких образов и т. п. — оригинала модели. Этот аналог — «представитель», «заместитель» оригинала в познании и практике. Он служит для
* хранения и расширения знания (информации) об оригинале,
* конструирования оригинала,
* преобразования или
* управления им.
Между моделью и оригиналом должно существовать известное сходство (отношение подобия):
· физических характеристик,
· функций;
· поведения изучаемого объекта
· и его математического описания;
· структуры и др.
Именно это сходство и позволяет переносить информацию, полученную в результате исследования модели, на оригинал.
Математические модели основаны на математических объектах, под которыми понимают множества или группы множеств, а так же отношения между ними и внутри них.
Функция математической модели заключается в возможности на ее основе, исходя из имеющихся данных, получить новые сведения на основе математических операций, без обращения к эксперименту.
Формы моделирования разнообразны и зависят от используемых моделей и сферы применения моделирования.
По характеру моделей выделяют материальное (предметное) и идеальное моделирование, выраженное в соответствующей знаковой форме.
Материальные модели являются природными объектами, подчиняющимися в своем функционировании естественным законам — физики, механики и т. п. При физическом (предметном) моделировании конкретного объекта его изучение заменяется исследованием некоторой модели, имеющей ту же физическую природу, что и оригинал (модели самолетов, кораблей и т. п.).
При идеальном (знаковом) моделировании модели выступают в виде схем, графиков, чертежей, формул, системы уравнений, предложений естественного и искусственного (символы) языка и т. п.
В настоящее время широкое распространение получило математическое (компьютерное) моделирование.
Математическая модель представляет собой абстрактную систему, состоящую из набора математических объектов.
В самом общем виде под математическими объектами современная философия математики подразумевает множества и отношения между множествами и их элементами.
В простейшем случае в качестве модели выступает отдельный математический объект, т. е. такая формальная структура, с помощью которой можно от эмпирически полученных значений одних параметров исследуемого материального объекта переходить к значению других без обращения к эксперименту. Например, измерив окружность шарообразного предмета, по формуле объема шара вычисляют объем данного предмета.
Очевидно, ценность математической модели для конкретных наук и технических приложений состоит в том, что благодаря восполнению ее конкретно-физическим или каким-либо другим предметным содержанием она может быть применена к реальности в качестве средства получения информации..
По существу, любая математическая структура (или абстрактная система) приобретает статус модели только тогда, когда удается констатировать факт определенной аналогии структурного, субстратного или функционального характера между нею и исследуемым объектом (или системой). Другими словами, должна существовать известная согласованность, получаемая в результате подбора и «взаимной подгонки» модели и соответствующего «фрагмента реальности». Указанная согласованность существует лишь в рамках определенного интервала абстракции. В большинстве случаев аналогия между абстрактной и реальной системой связана с отношением изоморфизма между ними, определенным в рамках фиксированного интервала абстракции.
Для того, чтобы исследовать реальную систему, мы замещаем ее (с точностью до изоморфизма) абстрактной системой с теми же отношениями; таким образом задача становится чисто математической. Например, чертеж может служить моделью для отображения геометрических свойств моста, а совокупность формул, положенных в основу расчета размеров моста, его прочности, возникающих в нем напряжений и т.д., может служить моделью для отображения физических свойств моста.
