Типы математических моделей

Описательные модели представляют собой феноменологические теории, которые не раскрывают сущность процессов, а описывают их поведение на основе законов и дают только количественное предсказание (феномен – явление, вещи, которые существуют).

Объяснительные (ноуменологические – с греч., ноум – закон – вещь, которая существует только в голове) модели раскрывают сущность процессов, определяют их причинно-следственные связи и позволяют осуществить качественное предвидение.

Мы идем от описательных моделей к объяснительным.

В истории науки примером модели первого вида мо­жет служить схема эксцентрических кругов и эпицик­лов Птолемея. Математический формализм ньютонов­ской теории тяготения является соответствующим при­мером модели второго вида.

В одной из основных статей В. Гейзенберг обра­щает внимание на то, что в истории естествознания встречаются два типа теорий. К первому типу относятся так называемые «феноменологические» теории. Для них характерна такая формулировка закономерностей в области наблюдаемых физических явлений, в кото­рой не делается попытка свести описываемые связи к лежащим в их основе общим законам природы, через которые они могли бы быть понятыми. (Например, в химии — правила валентности, в оптике — формулы дисперсионной теории Друде). Ко второму типу отно­сятся теории, которые обеспечивают «истинное позна­ние явлений» (например, ньютонова физика, кванто­вая механика и др.). Гносеологическая особенность феноменологичес­ких теорий состоит в том, «что хотя они делают воз­можным описание наблюдаемых явлений, и, в частно­сти, нередко позволяют очень точно предвычислить новые эксперименты или последующие наблюдения, все же они не дают истинного познания явлений». Феноменологические теории это и есть модели описания. Модели же объяснения — это то, что Гейзенберг называет теориями, дающими истинное позна­ние явлений. В отличие от позитивизма и прагматизма Гейзенберг подчеркивает принципиальное гносеологи­ческое различие этих двух типов теорий.

 

 

 

14. Роль интуиции и умозрения в математическом познании.

Интуиция - непосредственное усмотрение чего-либо, претендующего на истину.
Противопоставляется рефлексии - доказательству и критическому рассуждению.
Смыслы интуиции:
1. Интуиция как восприятие: мгновенное отличение внешних воспринимаемых ощущений от внутренних. Сюда же относится восприятие знаков, отождествление воспринимаемого предмета с образом в сознании.
2. Интуиция как воображение: способность представить то, что не наблюдается непосредственно. Воображение разделяется на:

o воображение памяти - воспоминание образов ранее увиденных предметов;
o воображение фантазии - способность представить то, что не существует в реальности.
3. Интуиция как оценка: мгновенная эмоциональная оценка наблюдаемого.
4. Интуиция как определенная операция разума (творческая интуиция). Имеет различные формы:
o "сумеречное состояние сознания" (Бергсон);
o творческая интуиция (Пуанкаре).

Выявлен целый ряд механизмов интуиции:
" свернутое мышление " - ускоренный процесс перебора вариантов, в такие моменты человек не осознает, о чем он думает;
" свернутая речь " - не разворачивая цепочку силлогизмов, человек предсказывает заключительный вывод;
опытность - используя накопленный опыт, человек делает предсказание;

выход в новое измерение - отыскание дополнительных условий, помогающих решить задачу.
Умозрение - реконструирование бытия априорно, путем вывода его из исходных категорий.
Умозрение делится на:
рациональное - работа математика, построение теории по аксиомам;•
интуитивистское - стремление к непосредственному интуитивистскому прозрению некой идеи или трансцендентной истины, связано с погружением в состояние транса, мистикой.

 

2. Программа интуиционизма, Л. Брауэр,

Задача: редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания.

Решение: * ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода.

*В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции.

*Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности.

*Все допустимые математические объекты, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними.

Многие считали конструктивная математика не может содержать противоречий. вопрос о обосновании был бы решен положительно, если быв ему удалось свести большую часть мат-ки к арифметике.

Но: Сам Брауэр: основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.

+Последователи построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, несостоятельной вследствие своей узости.

Интуиционизм, претендующий на роль общематематической теории, оказал огромное воздействие на:

а) поддержание устойчивого интереса к проблеме интуиции среди математиков;

б) стимулирование серьезных философских исследований по изучению феномена интуиции; и, наконец,

в) они дали блестящие образцы получения математических результатов принципиальной значимости на интуитивной основе.

 

В математике,

* интуиция помогает постичь связь между целым и частями, Логика - в анализе. Синтез - с помощью интуиции.

* машинное моделирование вторично по отношению к интуитивной деятельности человека (синтез)

*понимание математических рассуждений и доказательств не сводится лишь к логическому анализу, а всегда дополняется синтезом, причем такой синтез, основанный на интеллектуальной интуиции, отнюдь не менее значим, чем анализ.

*Интуитивная гипотеза не следует логически из фактов, она в основном опирается на творческое воображение. *Кроме того, интуицией является и «способность видеть цель издалека».

 

 

Еще разок про вклад интуитивизма:

*Разработка математической интуиции в ее взаимосвязи с наиболее существенными методическими установками интуиционизма. Вслед за Кантом и Шопенгауэром Брауэр подчеркнул роль надлогической, аподиктической интуиции в математике. В своем обосновании математики Брауэр опирался на праксеологичеокую интуицию числа, которая ничего общего не имеет с эмпирической интуицией и обладает безусловной, предельной достоверностью[3].

*Воздействие на разработку методологических и мировоззренческих аспектов проблемы интуиции в математическом познании в целом.

*Идеи интуиционизма столь широко распространены, что к ним апеллируют при анализе воззрений видных философов. Согласно феноменологическому описанию Гуссерля, идея последовательности — центральная в понятие числа — является существенной особенностью процесса интуиции.

*Идеи интуиционизма оказали серьезное влияние на формирование методологических установок многих известных ученых.

*Брауэровское учение об интуиции вызвало к жизни попперианскую «эпистемологию без познающего субъекта», опирающуюся на концепцию «третьего мира».

*Взгляды Брауэра оказали определенное влияние и на психологические учения об интуиции.

*Интуитивистская модель сознания гуманнее и демократичнее рационалистской[2]. Рационалист обязан быть семи пядей во лбу, чтобы непрерывно удерживать в памяти всю сверхсложную последовательность рассуждений, приводящих к пониманию того или иного явления. Он обречен быть титаном мысли масштаба Аристотеля или Гегеля, иначе ему придется капитулировать и объявить во всеуслышание, что он вообще ничего не понимает в происходящем. Интуитивист же может позволить себе роскошь понимать очень многое, не отдавая себе отчета (и даже не утруждая себя каким –либо отчетом) о том, откуда, собственно говоря, взялось это его знание. Интуитивистская модель оставляет возможность каждому человеку не бог весь как развитому в рациональном плане, улавливать самое главное - хотя бы и ценой упущения некоторых частностей и обстоятельств, которые, конечно, тоже не бесполезны, однако по самому большому счету не так уж и важны[3].

*Интуитивизм гораздо толерантнее рационализма. Отдавая, естественно, приоритет интуиции, он все же не сбрасывает со счетов и рациональное стороны человеческого разума, уважительно признавая за ней необходимую и полезную функцию. Рационализм же абсолютно нетерпим к своим конкурентам, он претендует на полное единовластие. Иррациональную сторону человеческой души рационалисты считают предосудительным рудиментом нашей психике, доставшимся нам наследство от узколобых динозавров, и настаивают на том, что эта иррациональная компонента в исторической перспективе должна быть полностью вытеснена рациональной.

 

----

Нет ничего мрачнее такой перспективы; это означало бы конец культуры как способа существования человека. Рационалист вынужден все время что то вычислять и выгадывать, поэтому он обречен жить в постоянном страхе промахнутся в своих вычислениях и в постоянной подозрительности. Астролог придавлен своим гороскопом, фрейдист измучен своими комплексами, оккультист загнан в угол всевозможными приметами и знамениями, каждый шаг, каждый жест, вызывает у них беспокойство и тревогу. Единственная отрада для всех преуспевших в этих безумиях – нагадывать на других столь же жесткие гороскопы, откапывать в других еще более отвратительные комплексы, отыскивать для других еще более неумолимые и неотвратимые приметы.

*Культурного человека все это не касается, он не разлагает мир на силлогизмы и комплексы или символы по той простой причине, что ничего о них не знает: ведь культура – это то, что остается, когда человек забыл сему его учили. Культурный человек по сути своей интуитивен, он несет на себе колоссальный груз культурных ценностей совершенно бессознательно, не замечая его немыслимого объема и веса. Рациональное знание неизбежно и полезно, но такое знание неокончательное. Ему нельзя особенно доверять, и уж тем более нельзя ему поклоняться. Это некий этап знаний, через который надо обязательно пройти, но именно пройти, а не застрять в нем. Рациональное знание – это еще не окончательное знание, а лишь некий черновик знания, те промежуточные прикидки и вычисления, которые на коком-то этапе культурного творчества могут оказаться чрезвычайно полезными, но которые в конечном итоге должны быть выброшены за их полной ненадобностью: мы начинаем с интуиции, за тем критически проверяем ее рациональным знанием и вновь возвращаемся в область интуиции – прямого контакта с миром, в котором живем[3].

 

 

15. Индукция и дедукция в математике. Аксиоматический метод и математическая индукция.

 

В математике используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Дедукция (от латинского “deductio” - выведение) - переход от общего к частному, индукция (от латинского “inductio” - наведение) - вид обобщений, связанных с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе данных прошлых лет.

Математика широко использует аксиоматический метод построения теорий, а математическая логика изучает способы построения математических теорий, обосновывает применяемые в математике правила доказательств, исследует свойства самих математических теорий в целом.

Аксиоматический метод -способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Назначение - в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называется дедуктивным. Введение дедуктивной теории начинается с перечисления некоторых основных объектов и понятий, изучаемых этой теорией, и принятия некоторой системы аксиом в которых выражаются простейшие свойства и отношения между основными объектами и понятиями. Использование такого метода обуславливает эффективность любой науки в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

* обобщения на основе только некоторых случаев - неполная индукция. Результат не является логически обоснованным, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин, которые подтверждаются иногда спустя много лет.

* утверждение удаётся доказать во всех возможных случаях, полная индукция. имеет лишь ограниченное применение.

 

В соответствии с многовековой традицией, именно дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания.

Яркую и образную характеристику специфики математического метода рассуждений дала С.А. Яновская: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кеглей руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т.е. строго соблюдая все правила игры»

3. Главная особенность приведенной характеристики способа математических рассуждений состоит в том, что в соответствии с ней математик должен «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью. Именно это отличает аксиоматический метод математики от принятого в физике и других науках гипотетико- дедуктивного способа рассуждений, обязательно завершающегося проверкой теоретических выводов экспериментом.